今回は2019年の基礎工学部第３問を解説します. 初見で解いた時はかなり大変な計算をしてしまいました. でもあえてその回答も載せようと思います. そして\(,\) もっと簡単なやり方も別解として載せておきます.
本番では模範解答のように綺麗にいかないことなんていくらでもあり得ます. それでも強引に計算を押し進めることができる豪腕があれば点数が安定します.
強引な回答なので式がかなり長くなっています. 横スクロールしてご覧ください.
問題文全文
数列 \(\{a_n\}\) を
\begin{align}a_n=\frac{1}{n^4}\int_1^{e^n}\frac{(\log x)^3}{x}\left(1-\frac{\log x}{x}\right)^{n+3}dx,~~~~n=1,~2,~3,~\cdots\end{align}
と定める. ここで\(,\) \(e\) は \(\displaystyle e=\lim_{k\to 0}(1+k)^{\frac{1}{k}}\) によって定まる実数とし\(,\) \(\log\) は自然対数とする.
(1) \(\displaystyle a_1=\frac{\fbox{$\hskip0.8emア\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}{\fbox{$\hskip0.8emイウエ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}\) である.
(2) 数列 \(\{a_n\}\) の一般項は\(,\)
\begin{align}a_n=\frac{1}{n+\fbox{$\hskip0.8emオ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}-\frac{\fbox{$\hskip0.8emカ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}{n+\fbox{$\hskip0.8emキ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}+\frac{\fbox{$\hskip0.8emク\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}{n+\fbox{$\hskip0.8emケ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}-\frac{1}{n+\fbox{$\hskip0.8emコ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}\end{align}
\begin{align}=\frac{\fbox{$\hskip0.8emサ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}{(n+\fbox{$\hskip0.8emオ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$})(n+\fbox{$\hskip0.8emキ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$})(n+\fbox{$\hskip0.8emケ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$})(n+\fbox{$\hskip0.8emコ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$})}\end{align}
と書ける.
(3) \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n=\frac{\fbox{$\hskip0.8emシ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}{\fbox{$\hskip0.8emスセソ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}\) となる.
(1),(2) の着眼点
被積分関数に \(\displaystyle \frac{\log x}{x}\) が含まれているときは \(t=\log x\) とおくことで簡単にできます. この置換は覚えておきましょう.
(1) の解答
\begin{align}a_1=\int_1^e\frac{(\log x)^3}{x}(1-\log x)^4dx\end{align}
\(t=\log x\) とおくと\(,\) \(\displaystyle dt=\frac{1}{x}dx\)\(,\)
\begin{array}{c|c}x & 1\to e \\ \hline t & 0\to 1\end{array}
\begin{align}a_1=\int_0^1t^3(1-t)^4dt\end{align}
\begin{align}=\int_0^1(t^7-4t^6+6t^5-4t^4+t^3)dt=\biggl[\frac{1}{8}t^8-\frac{4}{7}t^7+t^6-\frac{4}{5}t^5+\frac{1}{4}t^4\biggr]_0^1\end{align}
\begin{align}=\frac{1}{8}-\frac{4}{7}+1-\frac{4}{5}+\frac{1}{4}=\frac{35-160+280-224+70}{280}=\frac{1}{280}.\end{align}
(2) の解答（初見時にこう解いたら大変だった）
\(t=\log x\) とおくと\(,\) \(\displaystyle dt=\frac{1}{x}dx\)\(,\)
\begin{array}{c|c}x & 1\to e^n \\ \hline t & 0\to n\end{array}
\begin{align}a_n=\frac{1}{n^4}\int_0^nt^3\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n+3}dt\end{align}
\begin{align}=\frac{1}{n^4}\left(\biggl[t^3\left\{-\frac{n}{n+4}\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n+4}\right\}\biggr]_0^n-\int_0^n3t^2\left\{-\frac{n}{n+4}\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n+4}\right\}dt\right)\end{align}
quandle
\(\displaystyle \left(1-\frac{t}{n}\right)^{n+3}\) を積分するときに \(-n\) 倍されることを忘れないようにしましょう. \(t\) の係数である \(\displaystyle -\frac{1}{n}\) の逆数である \(-n\) 倍が必要です.
\begin{align}=\frac{3}{n^3(n+4)}\int_0^nt^2\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n+4}dt\end{align}
\begin{align}=\frac{3}{n^3(n+4)}\left(\biggl[t^2\left\{-\frac{n}{n+5}\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n+5}\right\}\biggr]_0^n-\int_0^n2t\left\{-\frac{n}{n+5}\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n+5}\right\}dt\right)\end{align}
\begin{align}=\frac{6}{n^2(n+4)(n+5)}\int_0^nt\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n+5}dt\end{align}
\begin{align}=\frac{6}{n^2(n+4)(n+5)}\left(\biggl[t\left\{-\frac{n}{n+6}\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n+6}\right\}\biggr]_0^n-\int_0^n\left\{-\frac{n}{n+6}\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n+6}\right\}dt\right)\end{align}
\begin{align}=\frac{6}{n(n+4)(n+5)(n+6)}\int_0^n\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n+6}dt\end{align}
\begin{align}=\frac{6}{n(n+4)(n+5)(n+6)}\biggl[-\frac{n}{n+7}\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n+7}\biggr]_0^n=\frac{6}{(n+4)(n+5)(n+6)(n+7)}.\end{align}
quandle
なぜか先に通分された形が出てきてしまいました笑
仕方ないのでこれを部分分数分解することにします.
穴の形から変数は 2 つで済むのが救いでした.
\begin{align}\frac{1}{n+4}-\frac{A}{n+5}+\frac{B}{n+6}-\frac{1}{n+7}=\frac{6}{(n+4)(n+5)(n+6)(n+7)}\end{align}
とおく. 両辺に \((n+4)(n+5)(n+6)(n+7)\) をかけて\(,\)
\begin{align}(n+5)(n+6)(n+7)-A(n+4)(n+6)(n+7)+B(n+4)(n+5)(n+7)-(n+4)(n+5)(n+6)=6\end{align}
\(n=-5\) を代入して\(,\)
\begin{align}-A(-1)\cdot 1\cdot 2=6\end{align}
\begin{align}A=3\end{align}
\(n=-6\) を代入して\(,\)
\begin{align}B(-2)(-1)\cdot 1=6\end{align}
\begin{align}B=3\end{align}
quandle
今回は穴埋め式なので\(,\) \(\fbox{$\hskip0.8emカ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}\) と \(\fbox{$\hskip0.8emク\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}\) は 3 を埋めて先に行けばOKです. でも本来であればこの地点では必要条件に過ぎないため\(,\) 以下の議論により\(,\) 十分性をチェックする必要があります.
逆に \(,\)\(A=B=3\) のとき\(,\)
\begin{align}\frac{1}{n+4}-\frac{3}{n+5}+\frac{3}{n+6}-\frac{1}{n+7}\end{align}
\begin{align}=\frac{(n+5)(n+6)(n+7)-3(n+4)(n+6)(n+7)+3(n+4)(n+5)(n+7)-(n+4)(n+5)(n+6)}{(n+4)(n+5)(n+6)(n+7)}\end{align}
\begin{align}=\frac{6}{(n+4)(n+5)(n+6)(n+7)}\end{align}
より\(,\) 十分性も成立する.
quandle
今回は 3 次式なので\(,\) 4 個の具体的な \(n\) に対して \(A=B=3\) となることを確認してもOKです. 一般に以下のことが成り立ちます.
「次数が \(n\) 以下の整式\(P(x),~Q(x)\) に対して\(,\) 等式 \(P(x)=Q(x)\) が \((n+1)\) 個の異なる \(x\) の値に対して成り立つならば\(,\) この等式は \(x\) についての恒等式である.」
(2) の別解（推奨解答）
\(t=\log x\) とおくと\(,\) \(\displaystyle dt=\frac{1}{x}dx\)\(,\)
\begin{array}{c|c}x & 1\to e^n \\ \hline t & 0\to n\end{array}
\begin{align}a_n=\frac{1}{n^4}\int_0^nt^3\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n+3}dt\end{align}
\(\displaystyle u=1-\frac{t}{n}\) とおくと\(,\) \(t=n(1-u),~dt=-ndu\)\(,\)
\begin{array}{c|c}t & 0 \to n \\ \hline u & 1\to 0\end{array}
\begin{align}a_n=\frac{1}{n^4}\int_1^0n^3(1-u)^3u^{n+3}(-ndu)\end{align}
\begin{align}=\int_0^1(1-u)^3u^{n+3}du=\int_0^1(u^{n+3}-3u^{n+4}+3u^{n+5}-u^{n+6})du\end{align}
\begin{align}=\biggl[\frac{1}{n+4}u^{n+4}-\frac{3}{n+5}u^{n+5}+\frac{3}{n+6}u^{n+6}-\frac{1}{n+7}u^{n+7}\biggr]_0^1=\frac{1}{n+4}-\frac{3}{n+5}+\frac{3}{n+6}-\frac{1}{n+7}.\end{align}
quandle
\(\displaystyle u=1-\frac{t}{n}\) と再度置き直すべきでした. これを通分するのは大した労力ではないため\(,\) 易しい問題です. さっきの逆の議論のところと同様の計算になります. （ここでは省略します.）
(3) の着眼点
係数が 1 の部分と係数が 3 の部分があるのでそれぞれでまとめてみましょう.
すると\(,\)
\begin{align}\sum_{k=1}^n\{f(k)-f(k+1)\}=f(1)-f(n+1),\end{align}
\begin{align}\sum_{k=1}^n\{f(k)-f(k+3)\}=f(1)+f(2)+f(3)-f(n+1)-f(n+2)-f(n+3)\end{align}
が使えることが見えますね.
(3) の解答
\begin{align}\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^na_k\end{align}
\begin{align}=\lim_{n\to \infty}\left\{\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k+4}-\frac{1}{k+7}\right)-3\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k+5}-\frac{1}{k+6}\right)\right\}\end{align}
\begin{align}=\lim_{n\to \infty}\left\{\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{n+5}-\frac{1}{n+6}-\frac{1}{n+7}\right)-3\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{n+6}\right)\right\}\end{align}
\begin{align}=\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{2}=\frac{42+35+30-105}{210}=\frac{1}{105}.\end{align}
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