東京理科大学理学部第二部（数学科専用問題）第２問| 理科大の微積分

理学部第二部（数学科専用問題）2021年第２問

理【二部】（数学科専用）

2021.03.132021.03.16

3 月 4 日に理学部第二部の入試が行われました. その中でも今回は数学科専用問題を取り上げました.

微積分以外の問題についても解答速報をtwitterにアップしていますので$,$ よろしければ御覧ください.

情報提供していただきましたので　#理学部第二部　 #数学科　専用問題の　#解答速報　を作りました。計算ミスありきで見てください。何かございましたら優しくご指摘いたはだければと思います。受験された方お疲れ様でした。 pic.twitter.com/UUxzxzEoUx
— 理科大の微積分 (@tusbiseki) March 9, 2021

問題文全文
(1) の解答
陰関数の微分について
(2) の解答

問題文全文

(1) 次の極限を求めよ.

\begin{align}\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=\fbox{$\hskip0.8emコ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$},~~\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x}=\fbox{$\hskip0.8emサ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}\end{align}

(2) 関数 $y=\tan x$ の第 $n$ 次導関数を $y^{(n)}$ とおく. このとき$,$

\begin{array}{ccc}y^{(1)} & = & \fbox{$\hskip0.8emシ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}+\fbox{$\hskip0.8emス\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}~y^2~, \\ y^{(2)} & = & \fbox{$\hskip0.8emセ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}~y+\fbox{$\hskip0.8emソ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}~y^3~, \\ y^{(3)} & = & \fbox{$\hskip0.8emタ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}+\fbox{$\hskip0.8emチ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}~y^2+\fbox{$\hskip0.8emツ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}~y^4\end{array}

である. 同様に$,$ 各 $y^{(n)}$ を $y$ に着目して多項式とみなしたとき$,$ 最も次数の高い項の係数を $a_n$$,$ 定数項を $b_n$ とおく. すると$,$

\begin{array}{ccc}a_5 & = & \fbox{$\hskip0.8emテトナ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}~,~a_7=\fbox{$\hskip0.8emニヌネノ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}~, \\ b_6 & = & \fbox{$\hskip0.8emハ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}~,~b_7=\fbox{$\hskip0.8emヒフへ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}\end{array}

である.

(1) の解答

\begin{align}\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{1}{\cos x}=1.\end{align}

\begin{align}\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2 x}{x(1+\cos x)}\end{align}

\begin{align}\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{\sin x}{1+\cos x}=1\cdot \frac{0}{1+1}=0.\end{align}

quandle

「三角関数」＋「極限」と来たら

\begin{align}\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\end{align}

が利用できないか考えましょう.

コ：１　サ：０

陰関数の微分について

(2) では陰関数の微分を用いて計算していきます. $y=f(x)$ の形を陽関数というのに対し$,$ $f(x,~y)=0$ の形を陰関数といいます.

陰関数の場合$,$ $y$ や $y^2$ など一見 $y$ だけで書かれているものも $x$ の関数になっていることに注意する必要があります.

例えば$,$ $xy=1$ は $\displaystyle y=\frac{1}{x}$ と変形することで$,$ $y$ が $x$ の関数であることがわかります.

つまり合成関数の微分をする必要があります. 例えば $y^2$ を微分したければ

\begin{align}\frac{d}{dx}y^2=2y\cdot \frac{dy}{dx}\end{align}

と計算しなければなりません.

(2) の解答

\begin{align}y^{(1)}=\frac{1}{\cos^2x}=1+\tan^2x=1+y^2.\end{align}

\begin{align}y^{(2)}=2y\cdot y^{(1)}=2y(1+y^2)=2y+2y^3.\end{align}

\begin{align}y^{(3)}=(2+6y^2)(1+y^2)=2+8y^2+6y^4.\end{align}

\begin{align}y^{(4)}=(16y+24y^3)(1+y^2)=16y+40y^3+24y^5\end{align}

\begin{align}y^{(5)}=(16+120y^2+120y^4)(1+y^2)=16+136y^2+240y^4+120y^6\end{align}

よって$,$ $a_5=120.$

\begin{align}y^{(6)}=(272y+960y^3+720y^5)(1+y^2)=0+272y+\cdots +720y^7\end{align}

よって$,$ $b_6=0.$

quandle

欲しいのは最高次の係数と定数項だけですから$,$ 間は $\cdots$ で省略してしまったほうが計算が少なく済みます.

\begin{align}y^{(7)}=(272+\cdots 5040y^6)(1+y^2)=272+\cdots 5040y^8\end{align}

したがって$,$ $a_7=5040,~b_7=272.$

シ：１　ス：１　セ：２　ソ：２　タ：２　チ：８　ツ：６　テ：１　ト：２　
ナ：０　ニ：５　ヌ：０　ネ：４　ノ：０　ハ：０　ヒ：２　フ：７　へ：２