ホーム

\begin{align}\int_3^5 (x-3)^3(5-x)^5dx\end{align}

\begin{align}int_0^{\pi}\left(\tan{\frac{x}{3}}\right)^3dx+\int_0^{\pi}\left(\tan{\frac{x}{3}}\right)^5dx\end{align}

第３問　\(-1<t<1\) のとき\(,\) 以下の曲線 \(C_1,~C_2\) で囲まれる図形の面積を \(S(t)\) とおく.

\begin{align}C_1~:~y=1-2x|x|+3x^4,~C_2~:~1-tx^2\end{align}

このとき\(,\) 極限値

\begin{align}\lim_{t\to 0}\frac{S(t)-S(0)}{t}\end{align}

理学部（数学科・応用数学科専用問題）2月5日実施

第１問　無限等比級数

\begin{align}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(3x^2+2x+1)^k}\end{align}

が収束するとき\(,\) その和を \(g(x)\) とおく. \(2\) 以上の自然数 \(n\) に対し\(,\) 曲線 \(y=g(x)\) と \(x\) 軸および \(2\) 直線 \(x=-1,~x=-n\) で囲まれた部分の面積を \(S_n\) とするとき\(,\) \(\displaystyle \lim_{n\to \infty}2S_n\) の値

第２問　関数 \(p(x)=8(x-2)^2\) と \(1\) 次関数 \(q(x)\) に対して\(,\)

\begin{align}f(a)=\int_0^1|p(x)-q(x)|dx\end{align}

とおく. 整数 \(c\) に対して\(,\) \(f(a)=c\) が異なる \(2\) つの実数解をもつとき\(,\) \(a\) の値と関数 \(q(x)\) を求めよ.

創域理工学部（建築・先化・電電・航空宇宙・社基工）2月6日実施

第２問　関数

\begin{align}f(x)=(x-3)^2-2|x-3|-3\end{align}

の極値を与える \(x\) の値をすべて求めよ. 極大値を与えるか極小値を与えるかも明記せよ.

第３問　曲線 \(C~:~xy=4~(x>0)\) 上の異なる \(2\) 点 \(\mathrm{P},~\mathrm{Q}\) における接線はどちらも \(\displaystyle \left(\frac{8}{3},~\frac{4}{3}\right)\) を通るとする. 点 \(\mathrm{R}\) が曲線 \(xy=32~(x>0)\) 上を動くとき\(,\) 線分 \(\mathrm{PR}\) と線分 \(\mathrm{QR}\) および曲線 \(C\) で囲まれた部分の面積の最小値を求めよ.

薬学部　2月7日実施

第４問　曲線

\begin{align}C~:~y=f_n(x)=x^{-n}\log{x}~(x>0)\end{align}

上の点 \((a,~f_n(a))\) における接線を \(\ell \) とする. 曲線 \(C\) と接線 \(\ell \) および \(x\) 軸で囲まれた領域（境界を含む）を \(D\) とするとき\(,\) \(D\) を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転させてできる立体の体積

工学部　2月8日実施

第１問（２）　媒介変数 \(\theta~(-\pi \leqq \theta \leqq \pi )\) によって表された曲線

\begin{align}\left\{\begin{array}{c}x = \theta -\sin{\theta}\\ y=1-\cos{\theta}\end{array}\right.\end{align}

を \(C\) とするとき\(,\) \(C\) と直線 \(y=2\) によって囲まれた部分を \(y\) 軸の周りに \(1\) 回転させてできる立体の体積

第２問　座標空間内の \(xy\) 平面上に楕円 \(\displaystyle C~:~\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{3}=1\) と直線 \(\ell ~:~y=x+k\) が乗っているとする. \(C\) と \(\ell \) が \(2\) つの共有点 \(\mathrm{A,~B}\) をもつとき\(,\)\(z\) 座標が正の点 \(\mathrm{H}\) を\(,\) \(\mathrm{H}\) を通り \(z\) 軸と平行な直線が \(\ell \) と交わり\(,\) かつ\(,\) \(\triangle \mathrm{ABH}\) が正三角形になるようにとる. \(C\) と \(\ell \) が共有点をもつように \(k\) を動かすとき\(,\) \(\triangle \mathrm{ABH}\) が通過してできる立体の体積

C方式・グローバル方式　2月18日実施

第３問　\(\displaystyle \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}(t+1)^2\sqrt{-t^2+2}dt\)

第６問　\(0<a<1\) のとき\(,\) 直線 \(y=ax\) と曲線 \(y=|x^2-x|\) で囲まれる図形の面積を \(S\) とするとき\(,\) \(S\) を最小にする \(a\) の値

２０２３年

経営学部（必須問題）2月2日実施

第２問　曲線 \(\displaystyle y=\frac{4}{11}x^3-\frac{12}{11}x+\frac{1}{2}\) と直線 \(\displaystyle g(x)=–\frac{8}{11}x+\frac{1}{2}\) で囲まれる部分の面積 \(S\)

経営学部（ビジネスエコノミクス学科数学選択者用問題）2月2日実施

\begin{align}g(x)=(x-1)^2(x+3)(x+9)\end{align}

の最小値

\begin{align}\int_0^t \frac{2a\cos{x}}{\cos^2{x}+a^2\sin^2{x}}dx\end{align}

を \(a\) を用いて表せ

創域理工学部（数理・先物・情計・生生・経シス）　2月3日実施

第１問（２）　

\begin{alignf(x)=2x^3-9x^2+Ax+B\end{align}

に対して\(,\) \(f^{\prime}(x)=0\) が実数解をもつような \(A\) の値の範囲

第３問　曲線 \(C~:~y=\sqrt{5}\log{x}\) と \(C\) 上の点 \(\mathrm{A}~(e^2,~2\sqrt{5})\) における接線 \(\ell \) と \(x\) 軸で囲まれた部分の面積

先進工学部　2月4日実施

第２問　\(3\) 次方程式 \(x^3-6x^2+9x+2=k\) が異なる \(3\) 個の実数解をもつような実数 \(k\) の値の範囲

第４問　曲線 \(y=\log{(x^2+e)}\) と曲線上の点 \((\sqrt{e},~1+\log{2})\) における接線 \(\ell \) と \(y\) 軸で囲まれた図形 \(D\) の面積

理学部（共通）2月5日実施

第２問　\(x^2+y^2-a=0\) と \(x^2+y^2-1=0\) を共に満たすような正の実数 \(x,~y\) がただ \(1\) 組だけ存在するような \(a\) の値. また\(,\) そのときの \(x,~y\) の値

第３問　\(2\) 曲線 \(\displaystyle y=\frac{\sin{x}}{2+\cos{x}}\) と \(y=\displaystyle \frac{\cos{x}}{2+\sin{x}}\) で囲まれた図形の面積

理学部（数学科・応用数学科専用問題）2月5日実施

第２問　\(t\) を \(\displaystyle 0\leqq t \leqq 2^{\frac{2}{3}}\) を満たす定数とする.

\begin{align}x^3+y^3=3xy,~x\geqq 0,~y\geqq 0\end{align}

を満たす \((x,~y)\) の全体で表される図形を \(C\) とする. \(C\) の\(,\) 不等式 \(y\leqq x\) の表す領域に含まれる部分と\(,\) 直線 \(y=t\) の共有点の個数

創域理工学部（建築・先化・電電・航空宇宙・社基工）2月6日実施

第１問（２）(b)　\(1\) 個のサイコロを \(2\) 回続けて投げるとき\(,\) \(1\) 回目に出た目を \(a\)\(,\) \(2\) 回目に出た目を \(b\) とおく. \(\displaystyle f(x)=\frac{2bx}{x^2+a^2}\) の極大値が \(1\) 以上となる確率

第３問　曲線

\begin{align}C_1~:~y=e^{kx},~C_2~:~y=\sqrt{mx}\end{align}

および \(y\) 軸で囲まれた図形の面積を\(,\) \(k\) を用いて表せ

薬学部　2月7日実施

\begin{align}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{5+4\sin{x}+3\cos{x}}dx\end{align}

\begin{align}\int_0^{\frac{\pi}{3}}\frac{1}{1+\sin{x}+\cos{x}}dx\end{align}

\begin{align}\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{\sin{x}}{\sin{x}+\cos{x}}dx\end{align}

\begin{align}\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{\cos{x}}{\sin{x}+\cos{x}}dx\end{align}

工学部　2月8日実施

第１問（１）　

\begin{align}f(x)=\frac{5x^3+8x^2+15}{x^3-x}\end{align}

に対して\(,\) \(y=f(x)\) を満たす自然数の組 \((x,~y)\) はただ一つ存在し\(,\) それを \((a,~b)\) としたとき\(,\) \(f(b)\) の値

\begin{align}f(x)=e^{ax+b},~g(x)=e^{-f(x)}\end{align}

に対して\(,\) 曲線 \(C~:~y=e^{bx}g(x)\) と \(x\) 軸\(,\) および \(2\) 直線 \(x=-t,~x=t\) で囲まれた部分を \(x\) 軸の周りに \(1\) 回転させてできる立体の体積を \(V(t)\) とするとき\(,\) \(\displaystyle \lim_{t\to \infty}V(t)\) の値

C方式・グローバル方式　2月18日実施

第５問　曲線 \(C~:~y=|x^3-3x^2|\) と直線 \(m~:~y=-x+b\) が異なる \(4\) つの実数解をもつときの \(b\) の値の範囲

理学部第ニ部（共通）　3月4日実施

第６問　曲線

\begin{align}y=x^3+(t-2)x^2-2t(t+1)x+4t^2\end{align}

および \(x\) 軸で囲まれた領域のうち\(,\) \(2\leqq x \leqq t\) の部分の面積を \(S(t)\) とするときの \(\displaystyle \lim_{t\to \infty}\frac{S(t)}{t^4}\)

理学部第二部（数学科専用）　3月4日実施

第３問　曲線 \(y=(1-a)x^2(x-a)\) と \(x\) 軸で囲まれた部分の\(,\) 面積を \(S(a)\)\(,\) \(x\) 軸の周りに一回転してできる回転体の体積を \(V(a)\) とするとき\(,\) \(\displaystyle \frac{V(a)}{S(a)}\) の最大値

公立諏訪　推薦　11月26日or11月27日実施

第３問　放物線 \(y=6-x^2\) 上の点 \(\mathrm{A}(a,~6-a^2)\)に対して\(,\) \(\mathrm{B}(-a,~6-a^2),\) \(\mathrm{C}(a,~0),\) \(\mathrm{D}(-a,~0)\) によって作られる長方形 \(\mathrm{ABDC}\) の面積 \(S\) と\(,\) 放物線と線分 \(\mathrm{AB}\) で囲まれる面積 \(S_1\) が等しくなる \(a\) の値

公立諏訪　前期　2月26日実施

第１問　

\begin{align}y=-x^3-3x^2+9x\end{align}

と \(y=k\) で囲まれた領域が \(2\) つ存在するとき\(,\) これら \(2\) つの面積が等しくなるような \(k\) の値を求めよ.

\begin{align}\int_0^{\pi}|\sin^3{\theta}+\cos^3{\theta}|d\theta \end{align}

公立諏訪　中期　3月9日実施

第１問　曲線 \(y=e^{ax}\) 上の点 \(\mathrm{P}(p,~e^{ap})\) における接線と両座標軸とで囲まれる図形の面積 \(S\) の最大値

\begin{align}\int e^x\frac{1+\sin{x}}{1+\cos{x}}dx\end{align}

第４問　中心 \((0,~2)\)\(,\) 半径 \(2\) の円 \(C\) 上の点 \(\mathrm{A}(0,~0)\) を考える. \(C\) が \(x\) 軸上の正の方向に滑らないように転がしたとき\(,\) \(C\) がちょうど \(1\) 回転する間に\(,\) \(\mathrm{A}\) が描く曲線と \(x\) 軸とで囲まれる図形の面積

公立山口　工学部　推薦　11月19日or11月20日実施

（１８）（１９）\(y=x^2-2\) のグラフ上の点 \(\mathrm{A}(1,~-1)\) における接線の方程式

放物線 \(y=x^2+2\) と \(x\) 軸\(,\) 直線 \(x=0,~x=2\) で囲まれた部分の面積

公立山口　工学部　前期（共通）　2月25日実施

第１問（３）

\begin{align}y=x^4-4x^3+(4-2a)x^2+4ax+3a^2+2a+1\end{align}

の最小値が \(3\) のときの \(a\) の値

第３問（１）

\begin{align}\int_0^5|x^2-3x-4|dx\end{align}

第３問（２）

\begin{align}y=\sin{x}\sin{2x}-\cos{x}+1~(0<x<\pi )\end{align}

の極大値

第４問　曲線

\begin{align}C~:~\left\{\begin{array} x=2\cos^3{\theta}\\ y= 2\sin^3{\theta}\end{array}\right.\end{align}

の長さおよび \(C\) と \(x\) 軸で囲まれる図形の面積

公立山口　工学部　前期（数理情報科学科専用問題）2月25日実施

第３問　

\begin{align}f(x)=x^3+3x^2-24x+28\end{align}

のグラフと直線 \(\ell ~:~y=-11x+43\) で囲まれた \(2\) つの部分の面積の和

公立山口　中期　3月8日実施

第３問

（１）

\begin{align}lim_{x\to 0}\left\{\frac{\sin{x}}{\sin{(3x)}}\left(1+\frac{x}{2}\right)^{\frac{1}{x}}\right\}\end{align}

（２）

\begin{align}\lim_{x\to \frac{\pi}{3}}\int_{\frac{\pi}{3}}^x\cfrac{(1+\tan{t})^2}{x^3-\cfrac{{\pi}^3}{27}}dt\end{align}

（３）

\begin{align} \lim_{n\to \infty}\left(\frac{n+8}{n^2+3}+\frac{n+16}{n^2+12}+\cdots +\frac{n+8n}{n^2+3n^2}\right)\end{align}

２０２２年

経営学部（必須問題）2月2日実施

第３問（１）曲線 \(y=f(x)=|x^2-4|\) 上の点 \((1,~3)\) における接線の方程式を \(y=g(x)\)\(,\) \(y=f(x)\) と \(y=g(x)\) の交点の \(x\) 座標を \(\alpha ,~\beta \) とするとき\(,\) \(\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\{g(x)-f(x)\}dx\)

経営学部（ビジネスエコノミクス学科数学選択者用問題）2月2日実施

微積分の問題は出題されませんでした.

理工学部（数・物・情・応生・経営工）2月3日実施

第３問曲線 \(\displaystyle C~:~y=\frac{1}{x}\) とある \(2\) 直線 \(\ell_1,~\ell_3\) で囲まれる部分の面積

先進工学部 2月4日実施

\begin{align}y=\sin^3{x}+\cos^3{x}+3\sin{x}\cos{x}-2\sin{x}-2\cos{x}-1~(0\leqq x<2\pi)\end{align}

において\(,\) \(y\) の取りうる値の範囲

第４問 \(f(x)=xe^{-4x^2+1}\) の \((0\leqq x \leqq 1)\) のグラフと\(,\) 原点と点 \((1,~f(1))\) を結ぶ直線 \(\ell \) で囲まれた図形 \(D\) の面積

理学部（応数・応物・応化）2月5日実施

第１問（１） \(4\) 点

\begin{align}\mathrm{A}(1,~0,~1),~\mathrm{B}(-1,~0,~1),~\mathrm{C}(0,~1,~-1),~\mathrm{D}(0,~-1,~-1)\end{align}

を頂点とする四面体を \(z\) 軸に回転してできる立体の体積

第１問（３）

\begin{align}a_1=3,~b_1=-1\,~2a_{n+1}=5a_n+b_n,~2b_{n+1}=a_n+5b_n\end{align}

を満たす数列 \(\{a_n\},~\{b_n\}\) について\(,\)

\begin{align}\lim_{n\to \infty}\left\{\frac{(a_1-b_1)(a_2-b_2)\cdots (a_n-b_n)}{(a_1+b_1)(a_2+b_2)\cdots (a_n+b_n)}\right\}^{\frac{1}{n^2}}\end{align}

第２問

\begin{align}x^2-y^2\geqq 1,~\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{3}\leqq 1\end{align}

が表す領域 \(S\) を \(x\) の周りに \(1\) 回転させてできる立体の体積と \(y\) 軸の周りに \(1\) 回転させてできる立体の体積

第３問 \(f(x)=e^{-\sin^2{x}}\sin{2x}~(-\pi \leqq x \leqq \pi)\) の最大値を \(\alpha\) とするとき\(,\) \(y=f(x)\) と \(y=\alpha \) で囲まれた領域の面積

理学部（応用数学科専用問題）2月5日実施

第２問 \(f(x)=x^3-cx+c\) に対して\(,\) \(f(x)=0\) となる実数解 \(\alpha \) がただ \(1\) つでかつ \(-1\) 以下であるとき\(,\) \(f(x)=0\) の実数でない解 \(\beta \) の絶対値 \(|\beta |\) の取りうる値の範囲

理工学部（建築・先化・電電・機械・土木）2月6日実施

第３問 \(f(x)=(a-x)b^x,~g(x)=b^x\) に対して\(,\) \(y=f(x),~y=g(x)\) と \(y\) 軸で囲まれた図形の面積 \(S\) を \(a\) で表せ.

薬学部 2月7日実施

第２問（３） \(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^{40n}\frac{1}{n+k}\)

第４問 \(\displaystyle y\leqq x,~y\geqq \frac{x^2}{2},~y\leqq -x+\frac{3}{2}\) が表す領域を \(D\) とするとき\(,\) \(D\) を \(\displaystyle y=x,~y=-x+\frac{3}{2}\) の回りに１回転させてできる立体の体積

理学部（数・物・化）2月8日実施

第２問 \(D~:~x^2+|y|\leqq 1\) を放物線 \(y=x^2-1+2a\) により\(,\) 面積の等しい \(D_1\) と \(D_2\) に分ける. このとき\(,\) \(D_1\) と \(D_2\) をそれぞれ \(y\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる立体の体積が等しくなるときの \(a\) の値

理学部（数学科専用）2月8日実施

第１問 \(f_t(x)=x^2-2x+\sin{t}+2,~g_t(x)=x\cos{t}-\cos{t}+1\)

\(h_t(x)=x^2\cos^2{t}-2x\cos^2{t}+\cos^2{t}+\sin{t}+1\)

工学部 2月9日実施

第１問（３）ある領域 \(S\) と \(\displaystyle x+y\leqq \frac{1}{2}(3-\sqrt{3})\) の表す領域の共通部分の面積

第２問 \(\displaystyle C~:~\frac{x^2}{2}+(y-1)^2=1\) に点 \(\mathrm{P}(-\sqrt{2},~t)\) から引いた \(2\) 本の接線と \(x\) 軸との交点をそれぞれ \(\mathrm{A},~\mathrm{B}\) とするとき\(,\) 三角形 \(\mathrm{APB}\) の面積 \(S\) の最小値

第３問 \(\displaystyle H_n(x)=\int_x^{x+2n\pi}|-2\sin{(2t-\pi)}+4\sin{t}|dt\) に対して\(,\) \(H_{2021}(x)=a\) が異なる \(3\) つの解をもつときの \(a\) の値

C方式・グローバル方式 2月18日実施

第３問 \(\displaystyle \int_0^{2\pi}|\cos{x}+\sin{x}\cos{x}|dx\)

(a) \(\displaystyle \int_1^4\sqrt{(4-x)(x-1)}dx\)

(b) \(\displaystyle \int_1^e\log{\sqrt{x}}dx\)

第６問 \(\displaystyle \int_{\beta}^{1+\beta}(1-2x)e^{-x}dx\)

理学部第二部 3月4日実施

(1) \(\displaystyle \int_0^1\frac{x-4}{2x^2+5x+2}dx\)

(2) \(\displaystyle \int_1^6\frac{x}{\sqrt{10-x}}dx\)

(3) \(\displaystyle \int_0^1e^x\sin{\frac{\pi x}{2}}dx\)

第３問 \(1\) 辺の長さが \(1\) の平行四辺形 \(\mathrm{ABCD}\) 内のある条件を満たす点 \(\mathrm{P}\) において\(,\) \(\mathrm{AP}+\mathrm{BP}+\mathrm{CP}\) の最小値

第４問 \(C_1~:~y=x^2,~C_2~:~y=-(x-a)^2+b\) が共有点 \(\mathrm{P}\) をもち\(,\) 点 \(\mathrm{P}\) で共通の接線をもつとする. このとき\(,\) \(C_1,~C_2\) および \(y\) 軸で囲まれた部分の面積と\(,\) \(y\) 軸の周りに \(1\) 回転させてできる立体の体積

理学部第二部（数学科専用問題）3月4日実施

第１問 \(\displaystyle S(t)=\int_{t}^{t+1}|(x-1)^2(x-2)|dx~(0\leqq t \leqq 2 )\) の最小値

第３問 \(\displaystyle I_n=\int_0^{\log{2}}\left(\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\right)^{2n}dx\) に対して\(,\) \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(2n+1)^2(I_n-I_{n+1})\)

公立諏訪　推薦　11月27日or11月28日実施

第４問　放物線 \(y=x^2+2x-3\) と直線 \(y=x+3\) の交点の \(x\) 座標を \(\alpha ,~\beta\) とするとき\(,\)

\begin{align}\int_{\alpha}^{\beta}\left(|x^2+2x-3|-|x+3|\right)dx\end{align}

公立諏訪　前期　2月26日実施

第１問　曲線 \(y=xe^{-x^2}\) と直線 \(y=kx\) で囲まれた \(x\geqq 0\) の部分の面積

第２問　\(x^2+y^2=r^2\) と \(y^2=x-1\) の交点 \(\mathrm{P},~\mathrm{Q}\) に対して\(,\) \(\angle \mathrm{PQR}=\theta \) とするとき\(,\) \(\cos{\theta}\) の最小値

公立諏訪　中期　3月9日実施

第２問　\(\displaystyle f(x)=\frac{2x-\sin{2x}}{x^2}\) の最大値

第４問　曲線 \(\displaystyle C~:~y=\sqrt{x}-\frac{x\sqrt{x}}{3}~(a\leqq x \leqq a+1)\) の長さ \(L(a)\) を最小にする \(a\)

公立山口　工学部推薦　11月20日 or 11月21日実施

（１７） \(\displaystyle y=x^n-\frac{1}{2}x^2+ax+b\) を微分せよ.

（１８） \(\displaystyle \int_{-2}^2(7x^3+6x^2+5x)dx\)

公立山口　前期　2月25日実施

第３問　曲線 \(C~:~x^2+a^4y^2=a^2~(y\geqq 0)\) と \(x\) 軸\(,\) \(y\) 軸との交点をそれぞれ \(\mathrm{P},~\mathrm{Q}\) とするとき\(,\) 曲線 \(C\) と直線 \(\mathrm{PQ}\) で囲まれた部分を \(x\) 軸のまわりに回転して得られる立体の体積 \(V\) を \(a\) を用いて表す.

公立山口　工学部中期　3月8日実施

（３） \(f(x)=x\cos{x},~g(x)=x\) とするとき\(,\) 曲線 \(y=f(x)\)\(,\) 直線 \(x=2\pi\) と \(x\) 軸で囲まれた部分の面積 \(S_1\) と\(,\) 曲線 \(y=f(x)\)\(,\) 直線 \(y=g(x)\) で囲まれた部分の面積 \(S_2\)

（５）\(\displaystyle f(x)=x^2+\int_0^2(3x-2t)f(t)dt\) を満たす関数 \(f(x)\)

（１）\(f(x)=-x^3+6x^2-9x+3\) の極小値

（２）\(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}-2\frac{dy}{dx}+5y=0\) を満たす関数 \(y=e^{ax}\cos{bx}\) に対して\(,\) \(a,b\) の値

（３）\(x=\cos{t},~y=\sin{t}\) を満たす関数について\(,\) \(\displaystyle \left(\frac{dy}{dx}\right)^2\) と \(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}\) をそれぞれ \(t\) を用いて表す.

公立山口　薬学部中期　3月8日実施

第５問　\(f(x)=x^3+3x^2+3x,~g(x)=a^2x-1\) のとき\(,\) 曲線 \(y=f(x)\) と直線 \(y=g(x)\) が \(3\) 点で交わるような \(a\) の値の範囲

２０２１年

経営学部（必須問題）2月2日実施

第１問（２）　\(x^2-x=y^2+y\) のとき\(,\) \(4x^3-9y^3\) の最大値・最小値

経営学部（ビジネスエコノミクス学科数学選択者用問題）2月2日実施

第３問　\(\ell_n~:~y=t\) を \(y=x^k\) 上の点 \(\mathrm{P}(t,t^2)\) における接線 \(\ell_t\) に関して対称移動した直線 \(\ell_r\) が原点を通るような \(\mathrm{P}\) の \(x\) 座標を \(t_k\) とするとき\(,\) \(\displaystyle \sum_{k=3}^{\infty}t_k^{2(k-1)}\) の値

理工学部（数・物・情・応生・経営工）2月3日実施

第２問　\(C~:~y=xe^{-2x}\) と変曲点における法線 \(\ell\) と \(x\) 軸によって囲まれる部分の面積

第３問　\(C_1~:~y=x^2,~C_2~:~y=x^2-14,~C_3~:~y=-(x+4)^2+26\) の \(3\) つの曲線で囲まれる部分の面積

先進工学部 2月4日実施

第３問　曲線 \(\displaystyle y=\frac{\sqrt{3}}{4}x^2-\frac{\sqrt{3}}{6}\log x-\frac{\sqrt{3}}{4}\log 3~(1\leqq x\leqq 7)\) の長さ \(L\)

第５問　\(f(x)=-e^{-\frac{x}{2}}+a\) と \(g(x)=e^{\frac{x}{2}}+4e^{-\frac{x}{2}}\) がただ一つの共有点 \(\mathrm{P}\) をもつとき\(,\) 曲線 \(y=f(x)\) と点 \(\mathrm{P}\) における接線 \(n\) と \(x\) 軸に囲まれる部分の面積

理学部（応数・応物・応化）2月5日実施

第３問　\(\mathrm{M}(-1,~\tan t)\) に対して\(,\) \(\mathrm{OM}\) 上の点 \(\mathrm{P}(x(t),~y(t))\) を \(\mathrm{MP}=2\) を満たすようにとるとき\(,\) \(\displaystyle \int_{t_1}^{t_2}|y^{\prime}(t)|x^{\prime}(t)dt\) の値

理学部（応用数学科専用問題）2月5日実施

微積分の問題は出題されませんでした.

理工学部（建築・先化・電電・機械・土木）2月6日実施

第２問　放物線 \(D~:~y=x^2\) 上の点 \(\mathrm{A}(a,~a^2)\) における法線と \(D\) の交点のうち \(\mathrm{A}\) 以外の点を \(\mathrm{B(b,~b^2)}\) とし\(,\) 点 \(\mathrm{B}\) における \(D\) の法線と \(D\) との交点のうち \(\mathrm{B}\) 以外の点を \(\mathrm{C}(c,~c^2)\) とするとき\(,\) \(c\) の取り得る値の範囲

第３問　\(\displaystyle I_n=\int_{x_{2n}}^{x_{2n+1}}|x\sin x|dx \) に対して\(,\) \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{I_nI_{n+1}}\)

薬学部 2月7日実施

\begin{align} f(x)=\frac{\sqrt{6}}{3}\sin x,~g(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}x+s,~h(x)=2\sqrt{2}\sin^2\frac{x}{2}+t\end{align}

第４問　曲線 \(\displaystyle C_1~:~y=x^4-4x^3+4x^2+\frac{1}{4}\) と放物線 \(C_2~:~y=ax^2+bx+c\) が点 \(\displaystyle \mathrm{P}_1\left(\frac{2-\sqrt{2}}{2},~f\left(\frac{2-\sqrt{2}}{2}\right)\right),\) \(\displaystyle \mathrm{P}_2\left(\frac{2+\sqrt{2}}{2},~f\left(\frac{2+\sqrt{2}}{2}\right)\right)\) を共有点としてもつ

理学部（数・物・化）2月8日実施

第１問（３）(a) \(f(0)=2,~f(1)=f(2)=f(3)=0\) を満たす \(f(x)\) に対して\(,\) \(f^{\prime}(1)\)

(b) \(g(1)=g(2)=g(3)=g(4)=g(5)=0,~g(6)=2\) を満たす \(g(x)\) について\(,\) \(g^{\prime}(4)\) の値と \(\displaystyle \int_0^6\{g(x)-g(0)\}dx\) の値

第３問　\( f(x)=[\sqrt{x}]+\sqrt{x},~g(x)=2\sqrt{x}-1\) と \(f(x)\) が連続でない \(x\) の値を小さい順に \(a_1,~a_2,~\cdots\) とおくとき\(,\) \(a_n\leqq x\leqq a_{n+1}\) で定義される \(f_n(x)\) について

理学部（数学科専用）2月8日実施

第１問　時刻 \(t\) における点 \(\mathrm{P}\) の座標が \((f(t),~g(t))\) であり\(,\) \(a=f(T_1),~b=g(T_2)\) に対して\(,\) 速度が

\begin{align}\left\{\begin{array}{cc}(c,~0) & (0<t<T_1) \\ \displaystyle \left(0,~\frac{a}{t}\right) & (T_1 <t<T_2) \\ \displaystyle \left(-\frac{a}{t},~0\right) & (T_2 <t<T_3) \\ \displaystyle \left(0,~-\frac{a}{t}\right) & (T_3 <t<1)\end{array}\right.\end{align}

で与えられるとき\(,\) \(ab\) の最大値

工学部 2月9日実施

第３問　曲線 \(C~:~x=(1+\cos{\theta})\cos{\theta},~y=(1+\sin{\theta})\sin{\theta}\) によって囲まれた部分を直線 \(y=x\) の周りに \(1\) 回転させたときにできる立体の体積 \(V\)

C方式・グローバル方式 2月18日実施

第４問　放物線 \(C_1~:~y=-6x^2+kx,~C_2~:~y=6x^2+3\) の両方に接する異なる接線 \(\ell_1,~\ell_2\) に対して\(,\) \(C_1,~\ell_1,~\ell_2\) で囲まれた部分を \(x\) 軸の周りに \(1\) 回転させてできる立体の体積

理学部第二部 3月4日実施

第２問　\(y=\sin x\) と \(y=\cos{2x}\) で囲まれた \(2\) つの部分の面積の和

第４問　\(\displaystyle I(m,~n)=\int_a^b(x-a)^m(b-x)^ndx\)

第５問　ある条件をみたす点 \(\mathrm{R}\) の軌跡 \(\ell_1\) 上の点 \((a,~b)\) における接線を \(\ell_2\) とする. \(\ell_2\) と \(x\) 軸ならびに \(y\) 軸との交点をそれぞれ \(\mathrm{D},~\mathrm{E}\) とするとき\(,\) \(\triangle \mathrm{ODE}\) の面積の最大値

理学部第二部（数学科専用問題）3月4日実施

第２問　\(y=\tan x\) の第 \(7\) 次導関数の最高次の係数と定数項

第４問　\(\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{x}\left(\frac{\pi}{2}<x<\frac{3\pi}{2}\right)\) が \(x=b\) で極小値をとることを示し\(,\) \(\displaystyle f(b)=-\frac{1}{\sqrt{b^2+1}}\) を示す.

公立山口　前期日程・中期日程ともにコロナの影響により中止となりました

公立山口　推薦

(17) \(y=(x+3)^2(3x-2)\) を微分せよ.
(18) \(\displaystyle \int_{-a}^a(-x^3+x^2-4x)dx\) を \(a\) を用いて表せ.

公立諏訪　前期

第１問　\(f(x)=x^3+3x^2\) と \(y=4\) との交点 \(\mathrm{A}\)\(,\) \(y=f(x)\) 上の点 \(\mathrm{B}\)\(,\) 点 \(\mathrm{B}\) を通り\(,\) \(y=f(x)\) の別の点で接する接線と \(y=4\) との交点 \(\mathrm{C}\) に対して\(,\) \(\triangle \mathrm{ABC}\) の面積

公立諏訪　中期

第１問　\(f(x)=x^4-2x^3+x^2\) 上の点 \(\mathrm{A}(\alpha ,~f(\alpha ))\) における接線 \(\ell_{\alpha}\) と \(y\) 軸との交点の \(y\) 座標の最大値

第４問　\(f(x)=e^{-x}\sin{x}\) と \(x\) 軸で囲まれる部分の面積

公立諏訪　推薦

第３問　\(f(x)=x^3+kx^2\) が極大値 \(4\) をもつときの \(k\) の値

第４問　\(y=3x^2-10x+8\)\(,\) \(y=x\)\(,\) \(x=t\)\(,\) \(x=t+1\) で囲まれる部分の面積を \(S(t)\) とするとき\(,\) \(0\leqq t \leqq 1\) における \(S(t)\) の最小値

２０２０年

理工学部（数・物・情・応生・経営工）

第１問（３）　　\(\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0}\frac{g(f(h))-1}{h}\) の値など　　

\begin{align} f(x)=\int_0^k|e^t-x|dt,~~ y=0,~~ x=1,~~ x=e^k\end{align}

で囲まれる部分の面積

理工学部（建築・先化・電電・機械・土木）

第１問（１）\(\displaystyle f(x)=xe^{-x^2+2\sqrt{2}x}\) の最大値

第２問　\(y=x^2-2x, ~~y=x\) に囲まれた部分の回転体の体積

\begin{align} \mathrm{A}\left(\frac{1}{\sin \theta},~0, ~0\right),~~\mathrm{B}\left(0,~\frac{1}{\sin \left(\theta +\frac{\pi}{4}\right)},~0\right),~~\mathrm{C}\left(0,~0,~\frac{1}{\cos \left(\theta +\frac{\pi}{4}\right)}\right)\end{align}

における△ABCの面積 \(S\) の最小値

理学部（数・物・化）

第１問（３）放物線と円で囲まれる部分の面積

第２問　放物線と２接線によって囲まれる部分の面積など

第３問　\(\displaystyle \lim_{t\rightarrow \infty}\frac{S_1(t)-S_2(t)+t}{t-1}\)

理学部（数学科専用問題）

\begin{align} a=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}e^{-x}dx, ~~b=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}e^{-x}\cos xdx, ~~c=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}e^{-x}\sin xdx\end{align}

理学部（応数・応物・応化）

\begin{align} f_n(x)=nx^{n-1}\sin{\frac{\pi}{2}x}, ~~g_n(x)=nx^{n-1}\cos{\frac{\pi}{2}x}\end{align}

理学部（応用数学科専用問題）

第１問　\(\displaystyle f_n(x)=2\left(\frac{x}{2}\right)^{-\frac{1}{n}},~~g_n(x)=2\left(\frac{x}{2}\right)^{-n}\)

理学部第二部

第２問　\(\displaystyle C:~~y=\frac{2}{x^2}\)上の点 \(\displaystyle ~~P\left(t,~\frac{2}{t^2}\right)\)における接線など

第５問　

\begin{align}x^{n+1}=(x^3-6x^2+12x-8)Q_n(x)+a_nx^2+b_nx+c_n\end{align}

第６問　

\begin{align}C_1:~~y=x^2+2x-3,~~C_2:~~y=(x+a)^2+b\end{align}

とその両方に接する接線で囲まれる部分の面積

理学部第二部（数学科専用問題）

第４問　\(\displaystyle I_{m, n}=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^mx\sin^nxdx\)における \(I_{2q-1, 49-2q}\) の最小値

工学部

第１問（１）　\(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{\sin x-\sqrt{2}\cos x}{\sqrt{2}\sin x+\cos x}dx\) など

第３問　\(2x^2-3xy+2y^2=4\) で囲まれる部分の面積, 回転体の体積

基礎工学部

第３問　\(\displaystyle f(x)=3\sin x +x\int_0^{\frac{\pi}{6}}f(t)\cos tdt\) をみたす \(f(x)\)

第５問　

\begin{align} I=\int_a^{a+p+q}|x-a||x-a-p||x-a-p-q|dx\end{align}

が取り得る値の範囲

薬学部

\begin{align} \left(x+\frac{1}{2}\right)f^{\prime\prime}(x)-(x+2)f^{\prime}(x)+4f(x)=48x-39\end{align}

第４問　\(f(x)=\cos 2x-3\sqrt{3}x+4\) と \(x\) 軸で囲まれた部分の回転体の体積

経営学部（必須問題）

\begin{align}y=-x^2+2x+1,~~x=0,~~x=t,~~y=-2\end{align}

で囲まれた部分の面積

経営学部（数学選択）

第３問　（経営学科のみ）\(y=-p(x-1)^2+q\)と\(x\)軸で囲まれた部分の面積の最大値

第４問　（ビジエコ学科のみ）立方体の切断と回転体の体積

C方式、グローバル方式

第４問　台形 OABC が辺 OA を直径とする円に内接している. \(\mathrm{OA}=2,~\angle \mathrm{AOC}=\alpha\) のとき台形 OABC の面積の最大値

第５問　\(\displaystyle \int_1^e\frac{1+\log x}{2x}dx\) など

公立山口　工学部　前期　

第１問（２）　

\begin{align} \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}(\sin x+\cos x+\tan x+x+2x^2+3x^3)dx\end{align}

第３問　\(y=2x^2-5x-12\) と \(y=3x+12\) で囲まれる部分の面積

\begin{align} f(x)=a\cos^2x+b\sin^2x+2c\cos x\sin x~~\left(-\frac{\pi}{4}<x<\frac{\pi}{4}\right)\end{align}

の極値

公立山口　工学部　中期

第４問　\(\displaystyle f(x)=a\sin \frac{x}{12}-b\cos \frac{x}{2}\) のとき, \(\displaystyle I=\int_{-\pi}^{\pi}\left[1+f(x)+\{f(x)\}^2\right]dx\) の最小値

公立山口　薬学部　中期

第１問　\(f(x)=-8x^3+6x+\sqrt{2}\) と \(x\) 軸で囲まれる 2 つの部分の面積の和

公立諏訪　工学部　推薦

第１問（１） \(\displaystyle \int_{-1}^6(3x^2-14x+4)dx\)
　　　（３） \(y=-x+b\) が \(y=x^3-2x^2+1\) に接するときの \(b\) の値と接点の座標

第４問　\(f(x)=x^3+3x^2-9x-27\) の極値

公立諏訪　工学部　前期

第４問　\(f(x)=(1-\sin x)\cos x\) の最大値・最小値

第５問　\(y=\cos^2x\) と \(y=3\sin^2x\) で囲まれた部分の面積

公立諏訪　工学部　中期

第２問　\(f(x)=e^{-kx}\) 上の点 \((x_n,~f(x_n))\) における接線と \(x\) 軸との交点の \(x\) 座標

\begin{align} \int_{-\pi}^{\pi}(1+\cos x+\cos 2x+\cos 3x+\cos 4x+\cos 5x)^2dx\end{align}

２０１９年

理工学部（数・物・情・応生・経営工）

第１問（１）　\(0\leqq \theta \leqq \pi\) のとき\(,\) \(y=\sin^3{\theta}+\cos^3{\theta}-2\sin{2\theta}\) の最大値・最小値

第３問　\(\displaystyle f(x)=\int_0^x\frac{dt}{1+t^2}\)のとき, \(\displaystyle \lim_{m\rightarrow \infty}m\int_{1-\frac{1}{\sqrt{m}}}^1f(x)x^mdx\)

理工学部（建築・先化・電電・機械工・土木工）

第１問（２） \(f(x)=x^3+3ax^2+bx+1-a^2\) のとき \(\displaystyle \int_{-1}^1f(x)e^{|x|}dx\)

理学部（応数・応物・応化）

第１問（１）　

\begin{array}{c}\displaystyle x^2f(x)=3x^5+2x^4+x^3+2\int_0^xg(t)dt \\ \displaystyle g(x)=xf(x)+4x^3+x^2\int_{-1}^1g(t)dt\end{array}

かつ \(f(-1)=g(-1)\) を満たす整式 \(f(x),~g(x)\)

理学部第二部

第５問　\(f(0)=1,~f^{\prime}(0)=f^{\prime}(1)=-3,~f(a)-f(b)=|a-b|\) を満たす \(3\) 次関数 \(f(x)\)

基礎工学部

第３問　\(\displaystyle a_n=\frac{1}{n^4}\int_1^{e^n}\frac{(\log x)^3}{x}\left(1-\frac{\log x}{n}\right)^{n+3}dx\) のとき\(,\) \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)

第５問　\(\displaystyle f(x)=\frac{x+3}{x^2-4x+29}\) のグラフと直線 \(\displaystyle y=\frac{1}{5}\) で囲まれた部分の面積

C方式・グローバル方式

第６問　

\begin{align} \lim_{x\rightarrow 2}\frac{1}{x-2}\int_{4-x}^x\frac{2t}{(t^2+3)\log (t^2+3)}dt\end{align}

公立山口　薬学部　中期

第１問（２）　\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d~(a>0)\) が \(x=-2\) と \(x=3\) で極値をとり\(,\) \(\displaystyle f(-2)=125,~\int_{-2}^3f(x)dx=0\) のときの \(a,~b, c, d\) の値

２０１８年

公立山口　工学部　中期

\begin{align}I=\int_0^{\pi}\left(1+a\sin{x}-\frac{1}{3}\sin{2x}\right)\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\sin{x}+b\sin{2x}\right)dx\end{align}

のとき\(,\) \(I\) の最大値・最小値

２０１７年

工学部

第１問（２）　\(\displaystyle f(x)=\frac{3\sqrt{3}}{8}\sin{2x}-\frac{3}{4}\sin^2{x}\) の最大値・最小値と \(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}}xf^{\prime}(x)dx\) の値

２０１６年

工学部（建築・電気工学）

第１問（３）\(f(x)=x^2+2x\sqrt{1-x^2}\) の値域と \(\displaystyle \int_0^1f(x)dx\) の値

第２問（１） \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) がある２つの条件を満たすときの \(a,~b,~c,~d\) の値

工学部（工業化・情報工・機械工）

第２問（１）　

\begin{align}(a)~~\int_0^{\frac{\pi}{3}}\sin^2x\cos^2xdx~~~~(b)~~\int_1^4\frac{\log x}{\sqrt{x}}dx\end{align}

２０１５年

理工学部（物・応生・経営工）

\begin{align}\int_0^{\frac{\pi}{4}}|a\sin{2x}-\tan{x}|dx+\log{a}\end{align}

を \(a\) の \(1\) 次式で表せ.

工学部（建築・電気工）

第１問（１）　

\begin{align}f(x)=\tan{2x}~\left(0\leqq x <\frac{\pi}{4}\right),~g(x)=a\cos{x}~\left(0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}\right)\end{align}

のグラフの交点の \(x\) 座標を \(\theta\) とするとき\(,\) \(y=f(x),\) \(x\) 軸\(,\) 直線 \(x=\theta\) で囲まれた部分の面積

第２問（２）

\begin{align}\lim_{h\to 0}\frac{f(a+3h)g(a+5h)-f(a)g(a)}{h}\end{align}

を \(f(a),~g(a),~f^{\prime}(a),~g^{\prime}(a)\) を用いて表せ.

基礎工学部

第５問　\(\displaystyle f(x)=\frac{4x-7}{x-2}~~(x<2)\) と \(x\) 軸\(,\) \(y\) 軸とで囲まれる部分の面積と体積

２０１０年

理学部（数情・応物・応化）

第１問(2)　\(\displaystyle S(a)=\int_0^{\frac{\pi}{2}}|a\cos{x}-\sin{x}|dx~~(a>0)\)

理学部（数学科専用問題）

第１問(4)　

(a) \(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2}\log{\left(\frac{n+k}{n}\right)}\)

(b) \(\displaystyle \int_0^1\frac{2x+2}{x^2+x+1}dx\)

２００９年

理工学部（物理・応生・経営工）

第１問（１）\(x\) 軸\(,\) \(y=x+2,\) \(y=x^2~(x\geqq 0)\) で囲まれた図形を\(x\) 軸に関して \(1\) 回転してできる立体の体積と \(y\) 軸に関して \(1\) 回転してできる立体の体積

第１問（２）

\begin{align}f(t)=\int_1^t\frac{a+2-(a^2+6a+11)\log{x}}{x}dx\end{align}

２００５年

経営学部　甲（文系型）

第１問（２）　\(0<p<1\) \(,\) \(C~:~y=x^2\) と \(\ell ~:~y=px\) とで囲まれる部分の面積を \(S_1\)\(,\) \(C\) と \(\ell \) と直線 \(x=1\) とで囲まれる部分の面積を \(S_2\) とするとき\(,\) \(S_1+S_2\) の最小値

経営学部　乙（理系型）

第１問　\(\displaystyle \int_a^{3a}xe^{-2x}dx\)

２００２年

理学部（数・物・化）

第１問(3) 　\(\displaystyle f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}~(x>0)\) における変曲点の \(x\) 座標

２００１年

工学部（建築・電気工）

(1) \(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{e^{\tan{x}}}{\cos^4{x}}dx\)

(2) \(\displaystyle f(x)=\sqrt{\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}\) の導関数

２０００年

理学部（数・物・化）