公立諏訪東京理科大学 中期 第４問の問題文全文
関数 \(\displaystyle f(x)=\sqrt{x}-\frac{x\sqrt{x}}{3}~~(x\geqq 0)\) に対して曲線 \(C~:~y=f(x)~(a\leqq x \leqq a+1)\) を考える. ただし\(,\) \(a>0\) とする. 曲線 \(C\) の長さを \(L(a)\) とするとき\(,\) 以下の問いに答えよ.
(1) 導関数 \(f^{\prime}(x)\) を求めよ.
(2) \(L(a)\) を求めよ.
(3) \(L(a)\) を \(a\) で微分した導関数 \(L^{\prime}(a)\) を求めよ.
(4) \(L(a)\) が最小となる \(a\) を求めよ.
(1) の解答〜端点での微分可能性に注意〜
\begin{align}f(x)=x^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{3}x^{\frac{3}{2}}\end{align}
\(x>0\) において\(,\)
\begin{align}f^{\prime}(x)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}-\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}\end{align}
\begin{align}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}(1-x)=\frac{1-x}{2\sqrt{x}}\end{align}
したがって\(,\)導関数 \(f^{\prime}(x)\) は
\begin{align}f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{cc}\displaystyle \frac{1-x}{2\sqrt{x}} & (x>0) \\ 定義されない & (x=0) \end{array}\right.~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
quandle
端点では通常導関数が定義されません. 今回は関数 \(f(x)\) が \(x\geqq 0\) で定義されているため\(,\) \(x=0\) では導関数が定義されないところまで答案として言及すべきだと思います.
(2) の解答〜曲線の長さの公式〜
曲線の長さの公式
曲線 \(y=f(x)\) の \(a\leqq x \leqq b\) の部分の長さ \(L\) は
\begin{align}L=\int_a^b\sqrt{1+\{f^{\prime}(x)\}^2}dx\end{align}
\begin{align}L(a)=\int_a^{a+1}\sqrt{1+\{f^{\prime}(x)\}^2}dx\end{align}
\begin{align}=\int_a^{a+1}\sqrt{1+\frac{1-2x+x^2}{4x}}dx=\int_a^{a+1}\sqrt{\frac{1+2x+x^2}{4x}}dx\end{align}
\begin{align}=\int_a^{a+1}\sqrt{\frac{(x+1)^2}{4x}}dx=\int_a^{a+1}\frac{x+1}{2\sqrt{x}}dx\end{align}
quandle
\(a>0\) であることから \(a\leqq x \leqq a+1\) において\(,\) \(x+1>0\) ですね.
よって\(,\) \(\sqrt{(x+1)^2}=|x+1|=x+1\) として絶対値が外せます.
\begin{align}=\int_a^{a+1}\left(\frac{\sqrt{x}}{2}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)dx=\biggl[\frac{1}{3}{\sqrt{x}}^3+\sqrt{x}\biggr]_a^{a+1}\end{align}
\begin{align}=\frac{1}{3}{\sqrt{a+1}}^3+\sqrt{a+1}-\frac{1}{3}{\sqrt{a}}^3-\sqrt{a}~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
(3) の解答〜 因数分解がかなり難しい〜
解法①〜(2) を愚直に微分〜
\begin{align}L(a)=(a+1)^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{3}(a+1)^{\frac{3}{2}}-a^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{3}a^{\frac{3}{2}}\end{align}
\begin{align}L^{\prime}(a)=\frac{1}{2}(a+1)^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{2}(a+1)^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}a^{-\frac{1}{2}}-\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{2}a^{\frac{1}{2}}\end{align}
\begin{align}=\frac{1}{2\sqrt{a+1}}+\frac{\sqrt{a+1}}{2}-\frac{1}{2\sqrt{a}}-\frac{\sqrt{a}}{2}\end{align}
\begin{align}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{a}(a+1)-\sqrt{a+1}-a\sqrt{a+1}}{2\sqrt{a}\sqrt{a+1}}\end{align}
\begin{align}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{a+1}+\sqrt{a}\sqrt{a+1}(\sqrt{a+1}-\sqrt{a})}{2\sqrt{a}\sqrt{a+1}}\end{align}
\begin{align}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{a+1})(1-\sqrt{a}\sqrt{a+1})}{2\sqrt{a}\sqrt{a+1}}~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
解法②〜微分積分学の基本定理の利用〜
微分積分学の基本定理の拡張
微分積分学の基本定理
\(f(x)\) は連続な関数で\(,\) \(a\) は定数とする. このとき\(,\)
\begin{align}\frac{d}{dx}\int_a^xf(t)dt=f(x)\end{align}
上記は微分と積分は互いに逆演算であることを主張しているもので\(,\) 「微分積分学の基本定理」と呼ばれています. 積分範囲が定数 \(a\) と変数 \(x\) になっていますが\(,\) これをそれぞれ \(x\) の関数に拡張した次の公式を今回の問題では使用してみます.
微分積分学の基本定理（積分範囲拡張版）
\(f(x)\) は連続な関数で\(,\) \(g(x),~h(x)\) はそれぞれ微分可能な関数とする. このとき\(,\)
\begin{align}\frac{d}{dx}\int_{h(x)}^{g(x)}f(t)dt=f(g(x))g^{\prime}(x)-f(h(x))h^{\prime}(x)\end{align}
解答
\begin{align}g(x)=\sqrt{1+\{f^{\prime}(x)\}^2}\end{align}
とおくと\(,\) (2) より\(,\)
\begin{align}g(x)=\frac{x+1}{2\sqrt{x}}\end{align}
\begin{align}L^{\prime}(a)=g(a+1)\cdot (a+1)^{\prime}-g(a)\cdot a^{\prime}\end{align}
\begin{align}=\frac{a+2}{2\sqrt{a+1}}-\frac{a+1}{2\sqrt{a}}=\frac{(a+2)\sqrt{a}-(a+1)\sqrt{a+1}}{2\sqrt{a}\sqrt{a+1}}\end{align}
\begin{align}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{a+1}+(a+1)\sqrt{a}-a\sqrt{a+1}}{2\sqrt{a}\sqrt{a+1}}\end{align}
quandle
ここの式変形はかなり試行錯誤が必要です. \(2\sqrt{a}=\sqrt{a}+\sqrt{a}\) という見方ができれば解決しますがかなり見通しよく変形しないとたどりつけないと思います.
\begin{align}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{a+1}+\sqrt{a}\sqrt{a+1}(\sqrt{a+1}-\sqrt{a})}{2\sqrt{a}\sqrt{a+1}}\end{align}
\begin{align}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{a+1})(1-\sqrt{a}\sqrt{a+1})}{2\sqrt{a}\sqrt{a+1}}~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
(4) の解答〜 \(L^{\prime}(a)\) の符号を調べる〜
\(a<a+1\) より\(,\)
\begin{align}\sqrt{a}-\sqrt{a+1}<0\end{align}
また\(,\)
\begin{align}2\sqrt{a}\sqrt{a+1}>0\end{align}
であるから\(,\)
\begin{align}\frac{\sqrt{a}-\sqrt{a+1}}{2\sqrt{a}\sqrt{a+1}}<0\end{align}
よって\(,\) \(L^{\prime}(a)\) の符号は\(,\) \(1-\sqrt{a}\sqrt{a+1}\) の逆符号になる.
\begin{align}1-\sqrt{a}\sqrt{a+1}=0\end{align}
のとき\(,\)
\begin{align}\sqrt{a}\sqrt{a+1}=1\end{align}
\begin{align}a(a+1)=1\end{align}
\begin{align}a^2+a-1=0\end{align}
\(a>0\) より\(,\)
\begin{align}a=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\end{align}
したがって\(,\) 増減表は以下のようになる.
\begin{align}\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline a & 0 & \cdots & \displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}}{2} & \cdots \\ \hline L^{\prime}(a) & {} & – & 0 & + \\ \hline L(a) & {} & \searrow & 極小 & \nearrow \\ \hline \end{array}\end{align}
増減表より\(,\) \(L(a)\) を最小にする \(a\) の値は
\begin{align}a=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
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