東京理科大学創域理工学部（建築・先化・電電・航空宇宙・社基工）第１問(2)(b)

創域理工（建築・先化・電電・航空宇宙・社基工）

2023.03.24

創域理工学部（建築・先化・電電・航空宇宙・社基工）第１問(2)(b)の問題文全文
解答〜 $a$ と $b$ は対等であることを利用〜

創域理工学部（建築・先化・電電・航空宇宙・社基工）第１問(2)(b)の問題文全文

$1$ 個のさいころを $2$ 回続けて投げるとき$,$ $1$ 回目に出た目を $a$$,$ $2$ 回目に出た目を $b$ とおく. $x\geqq 0$ に対して$,$ 関数 $f(x)$ を

\begin{align}f(x)=\frac{2bx}{x^2+a^2}\end{align}

で定める. $f(x)$ の極大値が $1$ 以上となる確率は $\displaystyle \frac{~\fbox{$\hskip0.4emテ\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}~}{~\fbox{$\hskip0.4emトナ\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}~}$ である.

解答〜 $a$ と $b$ は対等であることを利用〜

\begin{align}f^{\prime}(x)=\frac{2b(x^2+a^2)-2bx \cdot 2x}{(x^2+a^2)^2}\end{align}

\begin{align}=\frac{2b(a^2-x^2)}{(x^2+a^2)^2}=\frac{2b(a+x)(a-x)}{(x^2+a^2)^2}\end{align}

$a>0,~b>0,~x\geqq 0$ より$,$

\begin{align}\frac{2b(a+x)}{(x^2+a^2)^2}>0\end{align}

であるから$,$ $a-x$ の符号と $f^{\prime}(x)$ の符号は一致する. よって$,$ 増減表は以下のようになる.

\begin{align}\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x & 0 & \cdots & a & \cdots \\ \hline f^{\prime}(x) & {} & + & 0 & – \\ \hline f(x) & 0 & \nearrow & 極大 & \searrow \\ \hline \end{array}\end{align}

増減表より$,$ 極大値は

\begin{align}f(a)=\frac{2ab}{a^2+a^2}=\frac{b}{a}\end{align}

であり$,$ 極大値は $1$ 以上であるから$,$

\begin{align}\frac{b}{a}\geqq 1 \Leftrightarrow b\geqq a\end{align}

$a$ と $b$ は対等であるから$,$ $a>b$ となる確率と $a<b$ となる確率は等しい. よって$,$ 求める確率は$,$

\begin{align}\frac{(36-6)\div 2+6}{6\times 6}=\frac{21}{36}=\frac{7}{12}~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}

quandle

$a$ と $b$ は与えられている条件に何も差がありません. このことを $a$ と $b$ は対等であるといいます. $a<b,~a>b,~a=b$ の $3$ 種類の関係がありますが$,$ $a=b$ となるのは$,$

\begin{align}(a,~b)=(1,~1),~\cdots ,~(6,~6)\end{align}

の $6$ 通りで$,$ $a<b$ と $a>b$ は残りの $30$ 通りを均等に分けた $15$ 通りずつとなります.

テ：７　ト：１　ナ：２

東京理科大学創域理工学部（建築・先化・電電・航空宇宙・社基工）第１問(2)(b)

創域理工学部（建築・先化・電電・航空宇宙・社基工）第１問(2)(b)の問題文全文

解答〜 \(a\) と \(b\) は対等であることを利用〜

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