経営学部（ビジネスエコノミクス学科専用）2023年第３問の問題文全文
\(a\) を正の定数\(,\) \(t\) を \(\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}\) であるような定数とする.
\begin{align}f(x)=\frac{2a\cos{x}}{\cos^2{x}+a^2\sin^2{x}}~\left(0\leqq x \leqq \frac{\pi}{2}\right)\end{align}
が \(x=t\) で極大であるとき\(,\) 次の問いに答えなさい.
(1) \(f(x)\) を微分しなさい.
(2) \(a\) のとり得る値の範囲を求めなさい.
(3) \(f(t)\) を\(,\) \(a\) を用いて表しなさい.
(4) \(\displaystyle \int_0^tf(x)dx\) を\(,\) \(a\) を用いて表しなさい.
(1) の解答〜商の微分〜
\begin{align}f^{\prime}(x)=\frac{-2a\sin{x}(\cos^2{x}+a^2\sin^2{x})-2a\cos{x}(-2\cos{x}\sin{x}+2a^2\sin{x}\cos{x})}{(\cos^2{x}+a^2\sin^2{x})^2}\end{align}
\begin{align}=\frac{-2a\sin{x}(\cos^2{x}+a^2\sin^2{x})+4a\sin{x}\cos^2{x}(1-a^2)}{(\cos^2{x}+a^2\sin^2{x})^2}\end{align}
\begin{align}=\frac{2a(1-2a^2)\sin{x}\cos^2{x}-2a^3\sin^3{x}}{(\cos^2{x}+a^2\sin^2{x})^2}\end{align}
\begin{align}=\frac{\left\{(1-2a^2)\cos^2{x}-a^2\sin^2{x}\right\}2a\sin{x}}{(\cos^2{x}+a^2\sin^2{x})^2}\end{align}
\begin{align}=\frac{\left\{(a^2-1)\sin^2{x}-2a^2+1\right\}2a\sin{x}}{(\cos^2{x}+a^2\sin^2{x})^2}~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
(2) の解答〜 「\(x=t\) で極大をとる」を正しく使う〜
関数 \(f(x)\) が \(x=t\) で極大をとるための必要十分条件
関数 \(f(x)\) が \(x=t\) で極大
\begin{align}\left\{\begin{array}{c}f^{\prime}(t)=0\\ x=t~のまわりで~f^{\prime}(x)~の符号が＋からーに変わる\end{array}\right.\end{align}
\(f^{\prime}(x)\) の代わりに \(g(x)\) の符号を調べる
\(g(x)=(a^2-1)\sin^2{x}-2a^2+1\) とおく.
\(\displaystyle a>0,~0\leqq x \leqq \frac{\pi}{2}\) より\(,\)
\begin{align}\frac{2a\sin{x}}{(\cos^2{x}+a^2\sin^2{x})^2}\geqq 0\end{align}
なので\(,\) \(f^{\prime}(x)\) の符号と \(g(x)\) の符号は一致する.
\(x=t\) で極大をとるので\(,\) \(f^{\prime}(t)=0\) つまり \(g(t)=0\) かつ \(x=t\) のまわりで \(g(x)\) の符号が \(+\) から \(-\) に変わる.
quandle
\(f^{\prime}(x)\) は式の形が煩雑なので\(,\) より形が簡単な \(g(x)\) の符号を調べていきます.
\(a=1\) のとき\(,\) \(g(x)=-1\neq 0\) なので\(,\) \(a\neq 1\) としてよい.
\(g(t)=0\) より\(,\)
\begin{align}\sin^2{t}=\frac{2a^2-1}{a^2-1}\end{align}
\(\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}\) より\(,\) \(0<\sin^2{t}<1\) なので\(,\)
\begin{align}0<\frac{2a^2-1}{a^2-1}<1\end{align}
\begin{align}\Leftrightarrow 0<(2a^2-1)(a^2-1)<(a^2-1)^2\end{align}
\begin{align}\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{cc}0<(2a^2-1)(a^2-1) & \cdots ①\\ (2a^2-1)(a^2-1)<(a^2-1)^2 & \cdots ②\\ \end{array}\right. \end{align}
\(a>0\) に注意すると\(,\) ① より\(,\)
\begin{align}a^2<\frac{1}{2},~1<a^2\end{align}
\begin{align}0<a<\frac{1}{\sqrt{2}},~1<a\end{align}
② より\(,\)
\begin{align}2a^4-3a^2+1<a^4-2a^2+1\end{align}
\begin{align}\Leftrightarrow a^4-a^2<0\Leftrightarrow a^2(a+1)(a-1)<0\end{align}
\(a>0\) より\(,\) \(a^2(a+1)>0\) なので\(,\) \(a-1<0\) つまり\(,\)
\begin{align}a<1\end{align}
①\(,\) ② を同時に満たすので\(,\)
\begin{align}0<a<\frac{1}{\sqrt{2}}\end{align}
このとき\(,\) \(a^2-1<0\) に注意すると\(,\) 増減表は以下のようになる.
\begin{align}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & 0 & \cdots & t & \cdots & \displaystyle \frac{\pi}{2}\\ \hline f^{\prime}(x) & {} & + & 0 & – & {} \\ \hline f(x) & 2a & \nearrow & 極大 & \searrow & 0 \\ \hline \end{array}\end{align}
増減表より\(,\) 確かに \(x=t\) で極大をとるので\(,\)
\begin{align}0<a<\frac{1}{\sqrt{2}}~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
(3) の解答〜 \(f(t)\) を \(\sin^2{t}\) で表す〜
(2) より\(,\)
\begin{align}\sin^2{t}=\frac{2a^2-1}{a^2-1}\end{align}
\begin{align}f(t)=\frac{2a\cos{t}}{\cos^2{t}+a^2\sin^2{t}}\end{align}
\begin{align}=\frac{2a\sqrt{1-\sin^2{t}}}{(a^2-1)\sin^2{t}+1}=\cfrac{2a\sqrt{1-\cfrac{2a^2-1}{a^2-1}}}{(a^2-1)\cdot \cfrac{2a^2-1}{a^2-1}+1}\end{align}
\begin{align}=\cfrac{2a\sqrt{\cfrac{a^2}{1-a^2}}}{2a^2}=\frac{1}{\sqrt{1-a^2}}~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
quandle
注意が必要な変形が \(2\) ヶ所あります.
\(1\) つ目は \(\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}\) より\(,\) \(\cos{t}>0\) なので\(,\)
\begin{align}\cos{t}=\sqrt{1-\sin^2{t}}\end{align}
とできることです.
\(2\) つ目は\(,\) \(a>0\) であることから\(,\)
\begin{align}\sqrt{a^2}=|a|=a\end{align}
とできることです.
(4) の解答〜分母が \(\sin{x}\) だけの式\(,\) 分子に \(\cos{x}\) があることに注目〜
\(u=\sin{x}\) と置換する
\(u=\sin{x}\) とおくと\(,\) \(du=\cos{x}dx\) であり\(,\)
\begin{align}\begin{array}{|c|ccc|}\hline x & 0 & \to & t \\ \hline u & 0 & \to & \sin{t} \\ \hline \end{array}\end{align}
であるから\(,\)
\begin{align}\int_0^t\frac{2a\cos{x}}{(a^2-1)\sin^2{x}+1}dx=\int_0^{\sin{t}}\frac{2a}{(a^2-1)u^2+1}du\end{align}
\begin{align}=\frac{2a}{a^2-1}{\Large \int}_0^{\sin{t}}\cfrac{1}{u^2-\cfrac{1}{1-a^2}}du\end{align}
部分分数分解を行う
\begin{align}=\frac{2a}{a^2-1}\cdot \frac{\sqrt{1-a^2}}{2} {\LARGE \int}_0^{\sin{t}}\left(\cfrac{1}{u-\cfrac{1}{\sqrt{1-a^2}}}-\cfrac{1}{u+\cfrac{1}{\sqrt{1-a^2}}}\right)du\end{align}
\begin{align}=\frac{-a}{\sqrt{1-a^2}}\left[\log{\left|u-\frac{1}{\sqrt{1-a^2}}\right|}-\log{\left|u+\frac{1}{\sqrt{1-a^2}}\right|}\right]_0^{\sin{t}}\end{align}
\begin{align}=\frac{a}{\sqrt{1-a^2}}\left[\log{\left|\cfrac{u+\cfrac{1}{\sqrt{1-a^2}}}{u-\cfrac{1}{\sqrt{1-a^2}}}\right|}\right]_0^{\sqrt{\frac{1-2a^2}{1-a^2}}}\end{align}
\begin{align}=\frac{a}{\sqrt{1-a^2}}\log{\frac{1+\sqrt{1-2a^2}}{1-\sqrt{1-2a^2}}}~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
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