山口東京理科大学前期（共通）2023年第１問(3)の問題文全文
\(a\) は \(a<-1\) を満たす実数とし\(,\) 関数
\begin{align}y=x^4-4x^3+(4-2a)x^2+4ax+3a^2+2a+1\end{align}
について考える.
この関数の最小値が \(3\) であるとき\(,\) \(a\) の値は \(\displaystyle \frac{~-~\fbox{$\hskip0.4emト\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}~-~\sqrt{~\fbox{$\hskip0.4emナ\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}~}~}{\fbox{$\hskip0.4emニ\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}}\) である.
解答〜 \(y^{\prime}\) の符号を調べる〜
\begin{align}y^{\prime}=4x^3-12x^2+(8-a)x+4a\end{align}
\begin{align}=4\{x^3-3x^2+(2-a)x+a\}\end{align}
\begin{align}=4(x-1)(x^2-2x-a)\end{align}
\(a<-1\) より\(,\) \(x^2-2x-a=(x-1)^2-1-a>0\) であるから\(,\) \(y^{\prime}\) の符号と \(x-1\) の符号は一致する. よって\(,\) 増減表は以下のようになる.
\begin{align}\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline y^{\prime} & – & 0 & + \\ \hline y & \searrow & 最小 & \nearrow \\ \hline \end{array}\end{align}
増減表より\(,\) \(x=1\) のとき\(,\) 最小値 \(3a^2+4a+2\) をとる. 最小値は \(3\) であるから\(,\)
\begin{align}3a^2+4a+2=3\end{align}
\begin{align}3a^2+4a-1=0\end{align}
\begin{align}a=\frac{-2\pm\sqrt{7}}{3}\end{align}
\(a<-1\) より\(,\)
\begin{align}a=\frac{-2-\sqrt{7}}{3}~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
ト：２ ナ：７ ニ：３
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