創域理工学部（数理・先物・情計・生生・経シス）2024年第２問の問題文全文
\(m\) を正の実数とし\(,\) 関数 \(f(x)\) を
\begin{align}f(x)=-mx^2+1\end{align}
と定める. 座標平面上の曲線 \(y=f(x)\) を \(C\) とおき\(,\) 負の実数 \(a\) に対して点 \(\mathrm{A}(a,~f(a))\) における曲線 \(C\) の接線を \(\ell_1\) とおく. 直線 \(\ell_1\) と \(y\) 軸の交点を \(\mathrm{P}\) とし\(,\) 点 \(\mathrm{P}\) を通り\(,\) 直線 \(\ell_1\) に垂直な直線を \(\ell_2\) とおき\(,\) \(\ell_2\) と \(x\) 軸の交点を \(\mathrm{Q}\) とする.
(1) 点 \(\mathrm{P}\) の座標を\(,\) \(a\) と \(m\) を用いて表せ.
(2) 点 \(\mathrm{Q}\) の座標を\(,\) \(a\) と \(m\) を用いて表せ.
以下\(,\) 直線 \(\ell_2\) が曲線 \(C\) の接線となるときを考える.
(3) \(a\) を \(m\) を用いて表せ.
(4) 線分 \(\mathrm{AQ}\) の長さは \(m\) を用いて表される. これを \(L(m)\) とおく.
(a)
\begin{align}\lim_{m\to \infty}L(m)\end{align}
を求めよ.
(b)
\begin{align}\lim_{m\to 0}mL(m)\end{align}
を求めよ.
(1) の解答～接線の方程式を求める～
\begin{align}f^{\prime}(x)=-2mx\end{align}
より\(,\) \(\ell_1\) の傾きは\(,\)
\begin{align}f^{\prime}(a)=-2ma\end{align}
であるから\(,\) \(\ell_1\) の方程式は
\begin{align}\ell_1~:~y=-2ma(x-a)-ma^2+1\end{align}
\begin{align}y=-2max+ma^2+1\end{align}
\(x=0\) のとき\(,\)
\begin{align}y=ma^2+1\end{align}
\begin{align}\therefore \mathrm{P}(0,~ma^2+1)~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
(2) の解答～２直線の垂直条件～
\(\ell_1 \perp \ell_2\) より\(,\) \(\ell_2\) の傾きは\(,\)
\begin{align}-\frac{1}{f^{\prime}(a)}=\frac{1}{2ma}\end{align}
であるから\(,\) \(\ell_2\) の方程式は\(,\)
\begin{align}\ell_2~:~y=\frac{1}{2ma}x+ma^2+1\end{align}
\(y=0\) のとき\(,\)
\begin{align}\frac{1}{2ma}x=-(ma^2+1)\end{align}
\begin{align}x=-2ma(ma^2+1)\end{align}
\begin{align}\therefore \mathrm{Q}(-2ma(ma^2+1),~0)~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
(3) の解答～判別式の利用～
\begin{align}-mx^2+1=\frac{1}{2ma}x+ma^2+1\end{align}
のときを考える.
\begin{align}2m^2ax^2+x+2m^2a^3=0\end{align}
判別式を \(D\) とおくと\(,\) \(C\) と \(\ell_2\) が接するので\(,\)
\begin{align}D=1-4\cdot 2m^2a\cdot 2m^2a^3=0\end{align}
\begin{align}16m^4a^4=1\end{align}
\(m\neq 0\) より\(,\)
\begin{align}a^4=\frac{1}{16m^4}\end{align}
\(a^2>0\) より\(,\)
\begin{align}a^2=\frac{1}{4m^2}\end{align}
\(m>0,~a<0\) より\(,\)
\begin{align}a=-\frac{1}{2m}~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
quandle
\(a<0\) なのでマイナスがついた状態で答えます. 最後まで気の抜けない設問ですね.
(4) の解答
\(\mathrm{A},~\mathrm{Q}\) の座標を \(m\) で表す
\(\mathrm{A}\) の \(y\) 座標は\(,\)
\begin{align}f(a)=-ma^2+1\end{align}
\begin{align}=-m\left(-\frac{1}{2m}\right)^2+1\end{align}
\begin{align}=-\frac{1}{4m}+1\end{align}
\begin{align}\therefore \mathrm{A}\left(-\frac{1}{2m},~-\frac{1}{4m}+1\right)\end{align}
\(\mathrm{Q}\) の \(x\) 座標は\(,\)
\begin{align}-2ma(ma^2+1)\end{align}
\begin{align}=-2m\left(-\frac{1}{2m}\right)\left\{m\left(-\frac{1}{2m}\right)^2+1\right\}\end{align}
\begin{align}=\frac{1}{4m}+1\end{align}
\begin{align}\therefore \mathrm{Q}\left(\frac{1}{4m}+1,~0\right)\end{align}
\(L(m)\) を求める～ \(2\) 点間の距離公式の利用～
\begin{align}L(m)=\mathrm{AQ}\end{align}
\begin{align}=\sqrt{\left(\frac{1}{4m}+1+\frac{1}{2m}\right)^2+\left(\frac{1}{4m}-1\right)^2}\end{align}
\begin{align}=\sqrt{\frac{5}{8m^2}+\frac{1}{m}+2}\end{align}
(a) の解答
\begin{align}\lim_{m\to \infty}L(m)=\sqrt{0+0+2}=\sqrt{2}~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
(b) の解答
\begin{align}\lim_{m\to 0}mL(m)\end{align}
\begin{align}=\lim_{m\to 0}\sqrt{\frac{5}{8}+m+2m^2}\end{align}
\begin{align}=\sqrt{\frac{5}{8}+0+0}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{4}~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
quandle
\(m>0\) なので正確には \(m\to +0\) とするべきな気がしますが問題文に合わせて \(m\to 0\) としています.
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