問題文全文
(1) 定積分 \(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{6}}\sin x\cos xdx\) を計算すると
\begin{align}\int_0^{\frac{\pi}{6}}\sin x\cos xdx=\frac{\fbox{$\hskip0.8emア\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}{\fbox{$\hskip0.8emイ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}\end{align}
となる.
(2) 定積分 \(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{6}}x\cos xdx\) を計算すると
\begin{align}\int_0^{\frac{\pi}{6}}x\cos xdx=\frac{\pi}{\fbox{$\hskip0.8emウエ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}+\frac{\sqrt{\fbox{$\hskip0.8emオ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}}{\fbox{$\hskip0.8emカ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}-\fbox{$\hskip0.8emキ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}\end{align}
となる.
(3) 関数 \(f(x)\) が
\begin{align}f(x)=3\sin x +x\int_0^{\frac{\pi}{6}}f(t)\cos tdt\end{align}
を満たすとする. このとき, \(f(x)\) は
\begin{align}f(x)=\fbox{$\hskip0.8emク\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}\sin x+\frac{\fbox{$\hskip0.8emケ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}{\fbox{$\hskip0.8emコサ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}-\fbox{$\hskip0.8emシス\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}\sqrt{\fbox{$\hskip0.8emセ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}-\fbox{$\hskip0.8emソ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}\pi}x\end{align}
と書ける.
全体の着眼点
(1), (2) は教科書レベルの計算問題のようです.
(3) について少し変形を進めてみると
\(\displaystyle a=\int_0^{\frac{\pi}{6}}f(t)\cos tdt\) とおくと, \(f(x)=3\sin x+ax\) となるので,
\begin{align}a=\int_0^{\frac{\pi}{6}}(3\sin t+at)\cos tdt\end{align}
\begin{align}=3\int_0^{\frac{\pi}{6}}\sin t\cos tdt+a\int_0^{\frac{\pi}{6}}t\cos tdt\end{align}
となり, (1)と(2)が出てきます. ここまで見通しが立てば, (1)の積分値を \(I\) , (2)の積分値を \(J\) とおいておくことで, (3)の記述量が減らせそうです.
(1)の解答
管理人
教科書レベルの計算ですがたまに積和の公式を使う人がいます。ここは２倍角の公式を使う方が遥かに早いです。
\begin{align}I=\int_0^{\frac{\pi}{6}}\sin x\cos xdx=\int_0^{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{2}\sin{2x}dx\end{align}
\begin{align}=\biggl[-\frac{1}{4}\cos{2x}\biggr]_0^{\frac{\pi}{6}}=-\frac{1}{8}+\frac{1}{4}=\frac{1}{8}.\end{align}
(2)の解答
\begin{align}J=\int_0^{\frac{\pi}{6}}x\cos xdx=\biggl[x\sin x\biggr]_0^{\frac{\pi}{6}}-\int_0^{\frac{\pi}{6}}\sin xdx\end{align}
\begin{align}=\frac{\pi}{6}\times \frac{1}{2}-\biggl[-\cos x\biggr]_0^{\frac{\pi}{6}}=\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}-1.\end{align}
(3)の解答
管理人
\(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{6}}f(t)\cos tdt\)は定数です. 被積分関数が \(t\)だけの式なので, \(t\)について積分をして\(t\)に値を代入すると\(t\)がいなくなってしまうからです. この値を\(a\) （定数）とおきましょう.
\(\displaystyle a=\int_0^{\frac{\pi}{6}}f(t)\cos tdt\) とおくと, \(f(x)=3\sin x+ax\) となるので,
\begin{align}a=\int_0^{\frac{\pi}{6}}(3\sin t+at)\cos tdt=3I+aJ\end{align}
\begin{align}(1-J)a=3I\end{align}
\begin{align}\left(2-\frac{\pi}{12}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)a=\frac{3}{8}\end{align}
\begin{align}a=\frac{3}{8\left(2-\frac{\pi}{12}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}\end{align}
\begin{align}=\frac{9}{24\left(2-\frac{\pi}{12}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}=\frac{9}{48-2\pi -12\sqrt{3}}\end{align}
よって
\begin{align}f(x)=3\sin x+\frac{9}{48-12\sqrt{3}-2\pi}x.\end{align}
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