問題文全文
以下で与えられる関数
\begin{align}f(x)=1+a\sin{x}-\frac{1}{3}\sin{2x}~~(-1\leqq a \leqq 1)\end{align}
\begin{align}g(x)=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\sin{x}+b\sin{2x}~~(-1 \leqq b \leqq 1)\end{align}
に対して\(,\) \(\displaystyle I=\int_0^{\pi}f(x)g(x)dx\) とおく. このとき\(,\) 次の各問いに答えなさい.
(1) \(a=0,~b=0\) のときの \(I\) の値を求めなさい.
(2) \(I\) の最大値と最小値を求めなさい.
三角関数の積分について
三角関数の積分においては次数を減らす変形を心がけます. 具体的に使う公式は以下の \(2\) つです.
どれだけ次数が高くても繰り返し公式を用いることで必ず \(1\) 次式まで次数を減らすことができます.
① 半角の公式
\begin{align}\sin^2{\frac{x}{2}}=\frac{1-\cos{x}}{2}\end{align}
\begin{align}\cos^2{\frac{x}{2}}=\frac{1+\cos{x}}{2}\end{align}
② 積和の公式
\begin{align}\sin{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}\{\sin{(\alpha +\beta)}+\sin{(\alpha -\beta)}\}\end{align}
\begin{align}\cos{\alpha}\sin{\beta}=\frac{1}{2}\{\sin{(\alpha +\beta)}-\sin{(\alpha -\beta)}\}\end{align}
\begin{align}\cos{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}\{\cos{(\alpha +\beta)}+\cos{(\alpha -\beta)}\}\end{align}
\begin{align}\sin{\alpha}\sin{\beta}=-\frac{1}{2}\{\cos{(\alpha +\beta)}-\cos{(\alpha -\beta)}\}\end{align}
上の公式は①②ともに左辺の \(2\) 次式が右辺では \(1\) 次式になっています. だからこれらを使うことで次数を下げることができます. そしてこれらの公式は要暗記です. ただでさえ計算量の多い数Ⅲにおいて\(,\) 公式をいちいち導出しているのでは時間の無駄です.
(1) の解答
\(a=0,~b=0\) のとき\(,\)
\begin{align}I=\int_0^{\pi}\left(1-\frac{1}{3}\sin{2x}\right)\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\sin{x}\right)dx\end{align}
\begin{align}=\int_0^{\pi}\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\sin{x}-\frac{2}{9}\sin{2x}+\frac{1}{6}\sin{2x}\sin{x}\right)dx\end{align}
\begin{align}=\biggl[\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}\cos{x}+\frac{1}{9}\cos{2x}\biggr]_0^{\pi}-\frac{1}{12}\int_0^{\pi}(\cos{3x}-\cos{x})dx\end{align}
\begin{align}=\left(\frac{2}{3}\pi -\frac{1}{2}+\frac{1}{9}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{9}\right)-\frac{1}{12}\biggl[\frac{1}{3}\sin{3x}-\sin{x}\biggr]_0^{\pi}\end{align}
\begin{align}=\frac{2}{3}\pi -1~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
quandle
\(\sin{2x}\sin{x}\) の積分は積和の公式で次数下げです！
(2) の解答
\begin{align}I=\int_0^{\pi}\left(1+a\sin{x}-\frac{1}{3}\sin{2x}\right)\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\sin{x}+b\sin{2x}\right)dx\end{align}
\begin{align}=\int_0^{\pi}\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\sin{x}+b\sin{2x}+\frac{2}{3}a\sin{x}-\frac{1}{2}a\sin^2{x}+ab\sin{x}\sin{2x}-\frac{2}{9}\sin{2x}+\frac{1}{6}\sin{2x}{x}-\frac{1}{3}b\sin^2{2x}\right)dx\end{align}
\begin{align}=\int_0^{\pi}\left\{\frac{2}{3}+\left(\frac{2}{3}a-\frac{1}{2}\right)\sin{x}+\left(b-\frac{2}{9}\right)\sin{2x}+\left(ab+\frac{1}{6}\right)\sin{2x}\sin{x}-\frac{1}{2}a\sin^2{x}-\frac{1}{3}b\sin^2{2x}\right\}dx\end{align}
quandle
式が長くなっていますが一つ一つミスなく積分していきましょう.
\(\sin{2x}\sin{x}\) の積分がまた出てきますが\(,\) (1) で \(0\) になることがわかっていますから無視しましょう.
\(\sin^2{x}\) や \(\sin^2{2x}\) の積分は半角の公式で次数下げです！
\begin{align}=\biggl[\frac{2}{3}x-\left(\frac{2}{3}a-\frac{1}{2}\right)\cos{x}-\frac{1}{2}\left(b-\frac{2}{9}\right)\cos{2x}\biggr]_0^{\pi}-\frac{1}{4}a\int_0^{\pi}(1-\cos{2x})dx-\frac{1}{6}b\int_0^{\pi}(1-\cos{4x})dx\end{align}
\begin{align}=\frac{2}{3}\pi -\left(\frac{2}{3}a-\frac{1}{2}\right)(-1-1)-\frac{1}{2}\left(b-\frac{2}{9}\right)(1-1)-\frac{1}{4}a\biggl[x-\frac{1}{2}\sin{2x}\biggr]_0^{\pi}-\frac{1}{6}\biggl[x-\frac{1}{4}\sin{4x}\biggr]_0^{\pi}\end{align}
\begin{align}=\frac{2}{3}\pi +\frac{4}{3}a-1-\frac{1}{4}a\pi -\frac{1}{6}b\pi\end{align}
\begin{align}=\left(\frac{4}{3}-\frac{\pi}{4}\right)a-\frac{\pi}{6}b+\frac{2}{3}\pi -1\end{align}
\(\displaystyle \frac{4}{3}-\frac{\pi}{4}>0,~-\frac{\pi}{6}<0\) より\(,\)
\(a=1,~b=-1\) のとき\(,\) \(I\) は最大値
\begin{align}\frac{4}{3}-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}+\frac{2}{3}\pi-1=\frac{7}{12}\pi +\frac{1}{3}~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
\(a=-1,~b=1\) のとき\(,\) \(I\) は最小値
\begin{align}-\frac{4}{3}+\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}+\frac{2}{3}\pi -1=\frac{3}{4}\pi-\frac{7}{3}~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
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