経営学部 乙（理系型）2005年第１問の問題文全文
関数 \(f(x)=xe^{-2x}\) について\(,\) 次の問いに答えなさい. ただし\(,\) \(e\) は自然対数の底である.
(1) \(f(a)=f(b),~b=3a,~a\neq 0\) を満たす \(a,~b\) を求めなさい.
(2) \(a,~b\) は (1) で求めたものとする. 定積分
\begin{align}\int_a^bf(x)dx\end{align}
を求めなさい.
(1) の解答
\begin{align}f(a)=ae^{-2a},~f(b)=f(3a)=3ae^{-6a}\end{align}
\(f(a)=f(b)\) より\(,\)
\begin{align}ae^{-2a}=3ae^{-6a}\end{align}
\(a\neq 0\) より\(,\) 両辺を \(\displaystyle \frac{e^{6a}}{a}\) 倍して\(,\)
\begin{align}e^{4a}=3\end{align}
\begin{align}4a=\log{3}\end{align}
したがって\(,\)
\begin{align}a=\frac{1}{4}\log{3},~b=\frac{3}{4}\log{3}~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
(2) の解答 〜代入は最後に〜
\begin{align}\int_a^bf(x)dx=\int_a^{3a}f(x)dx\end{align}
\begin{align}=\biggl[x\left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right)\biggr]_a^{3a}-\int_a^{3a}\left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right)dx\end{align}
\begin{align}=-\frac{3}{2}ae^{-6a}+\frac{1}{2}ae^{-2a}+\biggl[-\frac{1}{2}e^{-2x}\biggr]_a^{3a}\end{align}
\begin{align}=\left(-\frac{3}{2}a-\frac{1}{4}\right)e^{-6a}+\left(\frac{1}{2}a+\frac{1}{4}\right)e^{-2a}\end{align}
\begin{align}=\left\{\left(-\frac{3}{2}a-\frac{1}{4}\right)\cdot \frac{1}{3}+\left(\frac{1}{2}a+\frac{1}{4}\right)\right\}e^{-2a}\end{align}
\begin{align}=\frac{1}{6}e^{-2a}=\frac{1}{6}e^{-\frac{1}{2}\log{3}}\end{align}
\begin{align}=\frac{1}{6\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{18}~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
quandle
まずは \(a\) のまま計算を進めて\(,\) 一番簡単な形になったタイミングで代入しましょう.
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