理学部第二部数学科専用問題2022年第３問の問題文全文
\(e\) を自然対数の底とし\(,\) \(\log \) は自然対数とする. 関数 \(g(x)\) を \(\displaystyle g(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\) と定める. 自然数 \(n\) に対し\(,\) \(\displaystyle I_n=\int_0^{\log{2}}(g(x))^{2n}dx\) と定める. このとき\(,\) 以下の問いに答えよ.
(1) \(g(x)\) の導関数 \(g^{\prime}(x)\) が \(g^{\prime}(x)=1-(g(x))^2\) と表せることを示せ.
(2) \(I_1\) と \(I_2\) の値をそれぞれ求めよ.
(3) \(I_n-I_{n+1}\) の値を \(n\) を用いて表せ.
(4) 極限 \(\displaystyle \lim_{n\to \infty}n(I_n-I_{n+1})\) を求めよ.
(5) 無限級数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(2n+1)^2(I_n-I_{n+1})\) の和を求めよ. ただし\(,\) 実数 \(r\) に対して\(,\) \(|r|<1\) のとき\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}nr^n=0\) となることは用いてもよい 。
(1) の解答
\begin{align}g^{\prime}(x)=\frac{(e^x+e^{-x})^2-(e^x-e^{-x})^2}{(e^x+e^{-x})^2}\end{align}
\begin{align}=1-\left(\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\right)^2=1-(g(x))^2.\end{align}
この等式が言っていること
(1) で証明した等式は間違いなくこの後の問題で利用することになります. この等式は
① 導関数 \(g^{\prime}(x)\) は微分する前の関数 \(g(x)\) で書き換えが可能
② \(1-(g(x))^2\) は \(2\) 次の形をしていますが\(,\) \(g^{\prime}(x)\) は \(1\) 次の形をしているので\(,\) 次数下げが可能
という２点を主張しています.
積分計算のための準備
(2) (3) は具体的な計算が出てきます. 何度も出てきそうな計算はあらかじめ計算しておくと後が楽です.
\begin{align}g(\log{2})=\dfrac{2-\dfrac{1}{2}}{2+\dfrac{1}{2}}=\frac{3}{5},~g(0)=0\end{align}
(2) の解答〜(1) の等式を利用〜
\(I_1\) を求める〜\(\displaystyle \int g^{\prime}(x)dx=g(x)+C\) の利用〜
\begin{align}I_1=\int_0^{\log{2}}(g(x))^2dx\end{align}
\begin{align}=\int_0^{\log{2}}(1-g^{\prime}(x))dx=\biggl[x-g(x)\biggr]_0^{\log{2}}\end{align}
\begin{align}=\log{2}-\frac{3}{5}~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
\(I_2\) を求める〜(1) の等式で次数下げ〜
\begin{align}I_2=\int_0^{\log{2}}(g(x))^4dx\end{align}
\begin{align}=\int_0^{\log{2}}(1-g^{\prime}(x))^2dx=\int_0^{\log{2}}\left\{1-2g^{\prime}(x)+(g^{\prime}(x))^2\right\}dx\end{align}
\begin{align}=\int_0^{\log{2}}\left\{1-2g^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)(1-(g(x))^2)\right\}dx\end{align}
\begin{align}=\int_0^{\log{2}}(1-g^{\prime}(x))dx-\int_0^{\log{2}}(g(x))^2g^{\prime}(x)dx=I_1-\biggl[\frac{1}{3}(g(x))^3\biggr]_0^{\log{2}}\end{align}
\begin{align}=\log{2}-\frac{3}{5}-\frac{1}{3}\left(\frac{3}{5}\right)^3=\log{2}-\frac{84}{125}~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
quandle
\(\displaystyle \int_0^{\log{2}}(g(x))^2g^{\prime}(x)dx\) は微分接触系です！
\(f(x)=x^2\) の原始関数の \(1\) つである \(\displaystyle \frac{1}{3}x^3\) に \(g(x)\) を代入するだけで積分が得られます！
(3) の解答〜微分接触系の積分〜
\begin{align}I_n-I_{n+1}=\int_0^{\log{2}}\left\{(g(x))^{2n}-(g(x))^{2n+2}\right\}dx\end{align}
\begin{align}=\int_0^{\log{2}}(g(x))^{2n}(1-(g(x))^2)dx=\int_0^{\log{2}}(g(x))^{2n}g^{\prime}(x)dx\end{align}
\begin{align}=\biggl[\frac{1}{2n+1}(g(x))^{2n+1}\biggr]_0^{\log{2}}=\frac{1}{2n+1}\left(\frac{3}{5}\right)^{2n+1}~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
(4) の解答〜(3) ができていればサービス問題〜
\begin{align}\lim_{n\to \infty}n(I_n-I_{n+1})=\lim_{n\to \infty}\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{n}}\left(\frac{3}{5}\right)^{2n+1}\end{align}
\begin{align}=\frac{1}{2+0}\cdot 0=0~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
(5) の解答〜部分和の極限〜
\begin{align}\sum_{n=1}^{\infty}(2n+1)^2(I_n-I_{n+1})=\sum_{n=1}^{\infty}(2n+1)\left(\frac{3}{5}\right)^{2n+1}\end{align}
\begin{align}=\frac{3}{5}\lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^n(2k+1)\left(\frac{9}{25}\right)^k\end{align}
quandle
無限級数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\) は部分和の極限 \(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^n\) で定義されます. 部分和を求めましょう.
部分和 \(S_n\) の計算〜（等差）×（等比）型数列の和〜
\begin{align}S_n=\sum_{k=1}^n(2k+1)\left(\frac{9}{25}\right)^k\end{align}
とおく.
quandle
\(S_n\) は（等差数列）×（等比数列）の形の数列の和になっています. \(2k+1\) は \(1\) 次式ですから等差数列ですね. （等差）×（等比）型の数列の和は
①公比をかけて ②ずらして引く
が鉄則です！
\begin{align}\begin{array}{ccccccccccccc}{} & S_n & = & \displaystyle 3\cdot \frac{9}{25} & + & \displaystyle 5\cdot \left(\frac{9}{25}\right)^2 & + & \cdots & + & \displaystyle (2n+1)\left(\frac{9}{25}\right)^n & {} \\ -) & \displaystyle \frac{9}{25}S_n & = & {} & {} &\displaystyle 3\cdot \left(\frac{9}{25}\right)^2 & + & \cdots & + & \displaystyle (2n+1)\left(\frac{9}{25}\right)^n & + & \displaystyle (2n+1)\left(\frac{9}{25}\right)^{n+1}\\ \hline {} & \displaystyle \frac{16}{25}S_n & = & \displaystyle \frac{27}{25} & + & \displaystyle 2\cdot \left(\frac{9}{25}\right)^2 & + & \cdots & + & \displaystyle 2\cdot \left(\frac{9}{25}\right)^n & – & \displaystyle (2n+1)\left(\frac{9}{25}\right)^{n+1}\end{array}\end{align}
\begin{align}=\frac{27}{25}+2\dfrac{\left(\dfrac{9}{25}\right)^2\left\{1-\left(\dfrac{9}{25}\right)^{n-1}\right\}}{1-\dfrac{9}{25}}-(2n+1)\left(\frac{9}{25}\right)^{n+1}\end{align}
\begin{align}=\frac{27}{25}+\dfrac{81\left\{1-\left(\dfrac{9}{25}\right)^{n-1}\right\}}{200}-(2n+1)\left(\frac{9}{25}\right)^{n+1}\end{align}
\begin{align}\longrightarrow \frac{27}{25}+\frac{81}{200}~(n\to \infty )=\frac{297}{200}\end{align}
quandle
\(|r|<1\) のとき \(\displaystyle \lim_{n\to \infty}nr^n=0\) であることは問題文で与えられています. これはもっと広義に (\(n\)の \(1\) 次式)× \(r^n\) の極限が \(0\) ということです.
以上より
\begin{align}（与式）=\frac{3}{5}\cdot \frac{25}{16}\cdot \frac{297}{200}=\frac{891}{640}~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
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