山陽小野田市立山口東京理科大学薬学部中期２０１９年第１問（２）

公立山口薬学部中期　2019年第１問（２）

公立山口　薬【中期】

2021.05.15

問題文全文
解答

問題文全文

関数 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d~(a>0)$ が$,$ $x=-2$ と $x=3$ のとき極値をとり$,$ $f(-2)=125$ である. さらに $\displaystyle \int_{-2}^3f(x)dx=0$ となるとき$,$ $a= \fbox{$\hskip0.8emオ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}~,~b=\fbox{$\hskip0.8emカキ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}~,~c=\fbox{$\hskip0.8emクケコ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}~,~d=\fbox{$\hskip0.8emサシス\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}$ である.

解答

quandle

未知数が $4$ つで与えられている条件も $4$ つですから連立するだけです.

積分するときに$,$ 代入するものが複雑なものであれば割り算して次数を下げてから代入することを考えたほうがいいでしょうが$,$ 今回代入するのは所詮整数ですから$,$ 大した計算にはならないはずです.

余計なことは考えず$,$ 思考停止で与えられた条件をそのまま計算するほうが結果的に早く解けると思われます.

$f^{\prime}(x)=3ax^2+2bx+c$ である.

また$,$ $x=-2$ と $x=3$ で極値をとるから$,$ $f^{\prime}(-2)=0,~f^{\prime}(3)=0$ となる.

よって$,$

\begin{align}f^{\prime}(-2)=12a-4b+c=0~~~~\cdots ①\end{align}

\begin{align}f^{\prime}(3)=27a+6b+c=0~~~~\cdots ②\end{align}

$f(-2)=125$ より$,$

\begin{align}-8a+4b-2c+d=125~~~~\cdots ③\end{align}

$\displaystyle \int_{-2}^3f(x)dx=0$ より$,$

\begin{align}\int_{-2}^3(ax^3+bx^2+cx+d)dx=\biggl[\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{3}bx^3+\frac{1}{2}cx^2+dx\biggr]_{-2}^3\end{align}

\begin{align}=\frac{81}{4}a+9b+\frac{9}{2}c+3d-\left(4a-\frac{8}{3}b+2c-2d\right)=\frac{65}{4}a+\frac{35}{3}b+\frac{5}{2}c+5d\end{align}

よって$,$

\begin{align}\frac{65}{4}a+\frac{35}{3}b+\frac{5}{2}c+5d=0~~~~\cdots ④\end{align}

①$,$ ②$,$ ③$,$ ④ を連立して$,$

\begin{align}a=4,~b=-6,~c=-72,~d=37~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}

オ：４　カ：ー　キ：６　ク：ー　ケ：７　コ：２　サ：＋　シ：３　ス：７