問題文全文
\(f(x)\) および \(g(x)\) は \(x=a\) で微分可能な関数とする. このとき\(,\) 極限値
\begin{align}\lim_{h\to 0}\frac{f(a+3h)g(a+5h)-f(a)g(a)}{h}\end{align}
を \(f(a),~g(a)\) および微分係数 \(f^{\prime}(a),~g^{\prime}(a)\) を用いて表しなさい.
微分係数の定義について
関数 \(f(x)\) が \(x=a\) で微分可能であるとき\(,\) 微分係数 \(f^(a)\) が存在して以下の形で表されます.
\begin{align}f^{\prime}(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\end{align}
今回の問題は微分係数の形になるように適切に変形ができるかを見る問題です.
解答
\begin{align}\lim_{h\to 0}\frac{f(a+3h)g(a+5h)-f(a)g(a)}{h}\end{align}
\begin{align}=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+3h)g(a+5h)-f(a)g(a+5h)+f(a)g(a+5h)-f(a)g(a)}{h}\end{align}
\begin{align}=\lim_{h\to 0}\frac{\{f(a+3h)-f(a)\}g(a+5h)+f(a)\{g(a+5h)-g(a)\}}{h}\end{align}
\begin{align}=\lim_{h\to 0}3\cdot \frac{f(a+3h)-f(a)}{3h}\cdot g(a+5h)+f(a)\cdot \lim_{h\to 0}5\cdot \frac{g(a+5h)-g(a)}{5h}\end{align}
\begin{align}=3f^{\prime}(a)g(a)+5f(a)g^{\prime}(a)~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
quandle
積の微分公式
\begin{align}\{f(x)g(x)\}^{\prime}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)\end{align}
が自力で導ける人にとっては簡単な問題です.
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