問題文全文
\(f(x)=x^4-2x^3+x^2\) とするとき\(,\) 座標平面上の曲線 \(y=f(x)\) について\(,\) 以下の問いに答えなさい.
(1) 曲線 \(y=f(x)\) 上の点 \(\mathrm{A}(\alpha ,~f(\alpha ))\) における接線 \(\ell_{\alpha}\) の方程式を求めなさい.
(2) \(\ell_{\alpha}\) のうち\(,\) 原点を通り\(,\) 傾きが \(0\) でないものの方程式を求めなさい.
(3) \(\ell_{\alpha}\) と \(y\) 軸との交点の \(y\) 座標の最大値を求めなさい.
(1) の解答
\begin{align}f^{\prime}(x)=4x^3-6x^2+2x\end{align}
より\(,\)
\begin{align}\ell_{\alpha}~:~y=(4{\alpha}^3-6{\alpha}^2+2\alpha )(x-\alpha )+{\alpha}^4-2{\alpha}^3+{\alpha}^2\end{align}
\begin{align}y=(4{\alpha}^3-6{\alpha}^2+2\alpha )x-3{\alpha}^4+4{\alpha}^3-{\alpha}^2~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
(2) の解答
原点を通るので\(,\)
\begin{align}0=-3{\alpha}^4+4{\alpha}^3-{\alpha}^2\end{align}
\begin{align}{\alpha}^2(3{\alpha}^2-4\alpha +1)=0\end{align}
\begin{align}{\alpha}^2(\alpha -1)(3\alpha -1)=0\end{align}
\(\alpha =0,~1\) のとき\(,\)
\begin{align}4{\alpha}^3-6{\alpha}^2+2\alpha =0\end{align}
となり\(,\) 傾きが \(0\) となってしまうため\(,\)
\begin{align}\alpha =\frac{1}{3}\end{align}
このとき\(,\)
\begin{align}\ell_{\frac{1}{3}}~:~y=\frac{4}{27}x~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
(3) の解答
\(x=0\) のとき\(,\)
\begin{align}y=-3{\alpha}^4+4{\alpha}^3-{\alpha}^2\end{align}
\begin{align}y^{\prime}=-12{\alpha}^3+12{\alpha}^2-2\alpha =-2\alpha (6{\alpha}^2-6\alpha +1)\end{align}
\begin{align}6{\alpha}^2-6\alpha +1=0\end{align}
の解が
\begin{align}\alpha =\frac{3\pm \sqrt{3}}{6}\end{align}
であるから\(,\) 増減表は以下のようになる.
\begin{align}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \alpha & \cdots & 0 & \cdots &\displaystyle \frac{3-\sqrt{3}}{6} & \cdots & \displaystyle \frac{3+\sqrt{3}}{6} & \cdots \\ \hline y^{\prime} & + & 0 & – & 0 & + & 0 & – \\ \hline y & \nearrow & 0 & \searrow & 極小 & \nearrow & 極大 & \searrow \\ \hline \end{array} \end{align}
増減表より\(,\) \(\alpha =0\) と \(\displaystyle \alpha =\frac{3+\sqrt{3}}{6}\) のうち \(y\) の値が大きい方が最大値となる.
quandle
\(\displaystyle \alpha =\frac{3+\sqrt{3}}{6}\) を直接代入すると計算量がとんでもないことになります. こういうときは一旦割り算を行い\(,\) 次数を小さくしましょう.
\begin{align}y=\left(-\frac{1}{2}{\alpha}^2+\frac{1}{6}\alpha +\frac{1}{12}\right)(6{\alpha}^2-6\alpha +1)+\frac{1}{3}\alpha -\frac{1}{12}\end{align}
\begin{align}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3+\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{12}=\frac{3+2\sqrt{3}}{36}>0\end{align}
quandle
最後の \(>0\) は \(\alpha =0\) のときの \(y\) の値 \(0\) より大きいという主張をしたくて書いています.
よって\(,\) 最大値は \(\displaystyle \alpha =\frac{3+\sqrt{3}}{6}\) のとき\(,\)
\begin{align}\frac{3+2\sqrt{3}}{36}~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
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