創域理工学部（数理・先物・情計・生生・経シス）2023年第１問(2)の問題文全文
\(A,~B,~C,~D\) を定数とする.
\begin{align}f(x)=2x^3-9x^2+Ax+B,~g(x)=x^2-Cx-D\end{align}
とおく. 以下の問いに答えよ.
(a) \(g(1-\sqrt{2})=0\) かつ \(g(1+\sqrt{2})=0\) のとき\(,\) \(C=~\fbox{$\hskip0.4emセ\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$},~D=~\fbox{$\hskip0.4emソ\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}\) である.
また\(,\) \(f(1-\sqrt{2})=0\) かつ \(f(1+\sqrt{2})=0\) のとき\(,\) \(A=~\fbox{$\hskip0.4emタ\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$},~B=~\fbox{$\hskip0.4emチ\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}\) であり\(,\) 方程式 \(f(x)=0\) を満たす有理数 \(x\) は
\begin{align}x=\frac{~\fbox{$\hskip0.4emツ\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}~}{~\fbox{$\hskip0.4emテ\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}~}\end{align}
である.
(b) \(f(x)\) の導関数 \(f^{\prime}(x)\) は
\begin{align}f^{\prime}(x)=~\fbox{$\hskip0.4emト\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}~x^2-~\fbox{$\hskip0.4emナニ\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}~x+A\end{align}
であり\(,\) 方程式 \(f^{\prime}(x)=0\) が実数解をもつような \(A\) の値の範囲は
\begin{align}A\leqq \frac{~\fbox{$\hskip0.4emヌネ\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}~}{~\fbox{$\hskip0.4emノ\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}~}\end{align}
である. \(\displaystyle A=\frac{~\fbox{$\hskip0.4emヌネ\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}~}{~\fbox{$\hskip0.4emノ\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}~},~B=\frac{1}{4}\) のときには\(,\)
\begin{align}f(x)=\frac{1}{~\fbox{$\hskip0.4emハ\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}~}(2x-~\fbox{$\hskip0.4emヒ\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}~)^3+~\fbox{$\hskip0.4emフ\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}\end{align}
と表すことができる.
(a) の解答〜「２解をもつ２次方程式」と言われたら和と積をつくる〜
\(\alpha ,~\beta\) を解にもつ \(2\) 次方程式の \(1\) つは
\begin{align}x^2-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta =0\end{align}
quandle
\(g(1-\sqrt{2})=0\) かつ \(g(1+\sqrt{2})=0\) ということは\(,\) 「\(g(x)=0\) が \(x=1\pm \sqrt{2}\) を解にもつ」と言い換えることができますね.
\begin{align}(1-\sqrt{2})+(1+\sqrt{2})=2,~(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})=-1\end{align}
より\(,\) \(1-\sqrt{2}\) と \(1+\sqrt{2}\) を解にもつ \(2\) 次方程式の \(1\) つは\(,\)
\begin{align}x^2-2x-1=0\end{align}
\begin{align}\therefore C=2,~D=1~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
\(f(x)=0\) も \(x=1\pm \sqrt{2}\) を解にもつので\(,\) \(f(x)\) は \(g(x)\) を因数にもつ. つまり\(,\)
\begin{align}2x^3-9x^2+Ax+B=(2x-5)(x^2-2x-1)\end{align}
とかけるので\(,\)
\begin{align}A=8,~B=5~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
quandle
\(2x-5\) をどうやって決めたかですが\(,\) \(2\) は \(x^3\) の係数を見て\(,\) \(-5\) は \(x^2\) の係数を見れば決まります！
\(f(x)=0\) の有理数解は\(,\)
\begin{align}x=\frac{5}{2}~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
セ：２ ソ：１ タ：８ チ：５ ツ：５ テ：２
(b) の解答〜不定積分で積分定数が出てくることに注意〜
\begin{align}f(x)=2x^3-9x^2+Ax+B\end{align}
\begin{align}f^{\prime}(x)=6x^2-18x+A~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
\(6x^2-18x+A=0\) の判別式を \(D\) とおくと\(,\) 実数解をもつための必要十分条件は\(,\) \(D\geqq 0\) を満たすことであるから\(,\)
\begin{align}\frac{D}{4}=(-9)^2-6A\geqq 0\end{align}
\begin{align}\therefore A\leqq \frac{27}{2}~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
quandle
\(f^{\prime}(x)\) が求められたので\(,\) 不定積分をすることで \(f(x)\) が求められますね. ただし\(,\) 積分定数が出てくるので\(,\) これを確定させる必要があります.
\(\displaystyle A=\frac{27}{2}\) のとき\(,\)
\begin{align}f^{\prime}(x)=6x^2-18x+\frac{27}{2}=\frac{3}{2}(2x-3)^2\end{align}
\begin{align}\therefore f(x)=\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{3}(2x-3)^3\cdot \frac{1}{2}+C~(C~は積分定数)\end{align}
\begin{align}\therefore f(x)=\frac{1}{4}(2x-3)^3+C\end{align}
定数項は \(\displaystyle B=\frac{1}{4}\) と一致するので\(,\)
\begin{align}-\frac{27}{4}+C=\frac{1}{4}~~~~\therefore C=7\end{align}
\begin{align}\therefore f(x)=\frac{1}{4}(2x-3)^3+7~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
ト：６ ナ：１ ニ：８ ヌ：２ ネ：７ ノ：２ ハ：４ ヒ：３ フ：７
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