経営学部（ビジエコ専用問題）2023年第２問の問題文全文
\(a\) を負の定数とする. 次の問いに答えなさい.
(1) \(f(x)=x^2+ax+1\) とする. 方程式 \(f(x)=0\) が実数解をもつような \(a\) の値の範囲を求めなさい.
(2) \(g(x)=x^4+(a+12)x^3+(12a+28)x^2+(27a+12)x+27\) とする. 方程式 \(g(x)=0\) が \(3\) つの異なる実数解をもつような \(a\) の値を求めなさい.
(3) (2) で求めた \(a\) の値を用いて\(,\) \(x\) がすべての実数値を動くとき\(,\) \(g(x)\) の最小値を求めなさい.
(1) の解答〜判別式の利用〜
\(x^2+ax+1=0\) の判別式を \(D\) とおく.
\(a<0\) より\(,\) \(a-2<0\) なので\(,\)
\(a-2\) の符号が負と確定しているので両辺を割ってしまえば \(1\) 次不等式を解くだけになりますね. ただし\(,\) 不等号の向きが逆になるので注意しましょう.
(2) の着眼点〜(1) をどう使うか〜
\(4\) 次方程式が異なる実数解を \(3\) 個もつようにしないといけません.
(1) では \(2\) 次方程式である \(f(x)\) の実数解をもつ条件を調べました. 「これを使うはず」という視点で考えましょう.
\(4\) 次方程式 \(g(x)\)が「もしかしたら \(2\) 次式 \(f(x)\) と何か別の \(2\) 次式との積でかけるかもしれない」という予測ができるので試してみましょう.
もし上記の予想が外れたら「 \(4\) 次関数 \(g(x)\) のグラフが \(x\) 軸と異なる \(3\) つの共有点をもつ」と言い換えて微分してみるなど\(,\) 別のアプローチも手札としては持っておきましょう.
(2) の解答〜 \(g(x)\) を \(f(x)\) で割ってみる〜
\(g(x)\) の形から\(,\) \(x=-3,~-9\) を解に持つことが確定しています. 異なる \(3\) つの実数解となるためには \(x^2+ax+1=0\) がどんな解を持てばいいかを考えましょう. \(1\) 個必ず重解を持たないといけないので\(,\) \(x=-3\) が重解を持つのか\(,\) \(x=-9\) が重解を持つのか\(,\) それとも \(x=-3\) でも \(x=-9\) でもない重解を持つのかの \(3\) パターンが考えられます.
\(x^2+ax+1=0\) が \(x=-3\) でも \(x=-9\) でもない重解をもつとき
\(D=0\) のときであるから\(,\) (1) より\(,\)
このとき\(,\)
よって\(,\) \(x=-3\) でも \(x=-9\) でもない重解をもつので適する.
\(x^2+ax+1=0\) が \(x=-3\) を解にもつとき
\(x=-3\) を代入して\(,\)
\(a<0\) より\(,\) 適さない.
\(x^2+ax+1=0\) が \(x=-9\) を解にもつとき
\(x=-9\) を代入して\(,\)
\(a<0\) より\(,\) 適さない.
以上より\(,\)
(3) の解答〜\(3\) つの関数の積の微分〜
(2) より\(,\) \(a=-2\) のとき\(,\)
\(3\) つの関数の積の微分公式
\(f(x),~g(x),~h(x)\) を微分可能な関数とし\(,\) \(F(x)=f(x)g(x)h(x)\) とおくと\(,\)
よって\(,\) 増減表は以下のようになる.
増減表より\(,\) 最小値は
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