東京理科大学理学部（共通）2024年第１問の問題文全文
(1)
\begin{align}\int_3^5(x-3)^3(5-x)^5dx=\frac{~\fbox{$\hskip0.4emアイ\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}~}{~\fbox{$\hskip0.4emウエ\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}~}\end{align}
である.
(2)
\begin{align}\int_0^{\pi}\left(\tan{\frac{x}{3}}\right)^3dx+\int_0^{\pi}\left(\tan{\frac{x}{3}}\right)^5dx=\frac{~\fbox{$\hskip0.4emオカ\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}~}{\fbox{$\hskip0.4emキ\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}}\end{align}
である.
(1) の解答
解法①～置換積分の利用～
\begin{align}t=5-x\end{align}
とおくと\(,\)
\begin{align}dt=-dx\end{align}
であり\(,\)
\begin{align}\begin{array}{|c|ccc|}\hline x & 3 & \to & 5\\ \hline t & 2 & \to & 0 \\ \hline \end{array}\end{align}
であるから\(,\) 与式は以下のように変形できる.
\begin{align}\int_2^0(2-t)^3t^5(-dt)\end{align}
\begin{align}=\int_0^2(8t^5-12t^6+6t^7-t^8)dt\end{align}
\begin{align}=\biggl[\frac{4}{3}t^6-\frac{12}{7}t^7+\frac{3}{4}t^8-\frac{1}{9}t^9\biggr]_0^2\end{align}
\begin{align}=\frac{256}{3}-\frac{1536}{7}+192-\frac{512}{9}=\frac{64}{63}~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
解法②～部分積分の利用～
\begin{align}\int_3^5(x-3)^3(5-x)^5dx\end{align}
\begin{align}=\biggl[(x-3)^3\left\{-\frac{1}{6}(5-x)^6\right\}\biggr]_3^5-\int_3^{5}3(x-3)^2\left\{-\frac{1}{6}(5-x)^6\right\}dx\end{align}
\begin{align}=\frac{1}{2}\int_3^5(x-3)^2(5-x)^6dx\end{align}
\begin{align}=\frac{1}{2}\left(\biggl[(x-3)^2\left\{-\frac{1}{7}(5-x)^7\right\}\biggr]_3^5-\int_3^{5}2(x-3)\left\{-\frac{1}{7}(5-x)^7\right\}dx\right)\end{align}
\begin{align}=\frac{1}{7}\int_3^5(x-3)(5-x)^7dx\end{align}
\begin{align}=\frac{1}{7}\left(\biggl[(x-3)\left\{-\frac{1}{8}(5-x)^8\right\}\biggr]_3^5-\int_3^5\left\{-\frac{1}{8}(5-x)^8\right\}dx\right)\end{align}
\begin{align}=\frac{1}{56}\biggl[-\frac{1}{9}(5-x)^9\biggr]_3^5\end{align}
\begin{align}=\frac{1}{56}\cdot \frac{512}{9}=\frac{64}{63}~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
解法③～ベータ関数の積分公式の利用～
ベータ関数の積分公式
\(m,~n\) が \(0\) 以上の整数であるとき\(,\) 次が成り立つ.
\begin{align}\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha )^m(\beta -x)^ndx=\frac{m!n!}{(m+n+1)!}(\beta -\alpha )^{m+n+1}\end{align}
\begin{align}\int_3^5(x-3)^3(5-x)^5dx\end{align}
\begin{align}=\frac{3!5!}{(3+5+1)!}(5-3)^{3+5+1}=\frac{64}{63}~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
quandle
公式そのままなので覚えている自信がある人は当てはめるだけの問題でした. とはいえ\(,\) 多くの受験生は覚えていない（or知らない）と思うので\(,\) 解法①の置換積分が一番実践的だと思います.
ア：６ イ：４ ウ：６ エ：３
(2) の解答～微分接触法の形～
\begin{align}\int_0^{\pi}\left(\tan{\frac{x}{3}}\right)^3dx+\int_0^{\pi}\left(\tan{\frac{x}{3}}\right)^5dx\end{align}
\begin{align}=\int_0^{\pi}\tan^3{\frac{x}{3}}\left(1+\tan^2{\frac{x}{3}}\right)dx\end{align}
quandle
相互関係が使えますね！
\begin{align}=\int_0^{\pi}\tan^3{\frac{x}{3}}\cdot \cfrac{1}{\cos^2{\cfrac{x}{3}}}dx\end{align}
quandle
\begin{align}\left(\tan{\frac{x}{3}}\right)^{\prime}=\frac{1}{3}\cdot \cfrac{1}{\cos^2{\cfrac{x}{3}}}\end{align}
であることを利用しましょう！すると微分接触系の形が現れます.
\begin{align}=3\int_0^{\pi}\tan^3{\frac{x}{3}}\left(\tan{\frac{x}{3}}\right)^{\prime}dx\end{align}
\begin{align}=\biggl[\frac{3}{4}\tan^4{\frac{x}{3}}\biggr]_0^{\pi}\end{align}
\begin{align}=\frac{3}{4}\cdot (\sqrt{3})^4=\frac{27}{4}~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
オ：２ カ：７ キ：４
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