東京理科大学創域理工学部（建築・先化・電電・航空宇宙・社基工）2024年第２問

創域理工学部（建築・先化・電電・航空宇宙・社基工）2024年第２問の問題文全文

関数 $f(x)$ を

とする. $a$ を正の実数$,$ $b$ を実数とする. 座標平面において$,$ 曲線 $y=f(x)$ を $C,$ 直線 $y=ax+b$ を $\ell$ とおく.

(1) 関数 $f(x)$ の極値を与える $x$ の値をすべて求めよ. 極大値を与えるか極小値を与えるかも明記せよ.

(2) $-4<b<-3$ のとき$,$ 曲線 $C$ と直線 $\ell$ の共有点の個数が $4$ 個となる正の実数 $a$ の範囲を $b$ を用いて表せ.

(3) $0<a<2$ とする. 直線 $\ell$ が点 $(3,~-3)$ を通るとき$,$ 曲線 $C$ と直線 $\ell$ で囲まれた部分の面積を $a$ を用いて表せ.

(1) の解答〜極値の定義を正しく理解できていますか？〜

グラフは以下のようになる.

グラフより$,$

(2) の解答〜３個になる場合を考える〜

$-4<b<-3$ なる $b$ に対して$,$ $y=ax+b$ の直線は $(0,~b)$を通る.

上図のように緑色部分を通る直線は共有点が $4$ 個になる. 青色の直線は $a=0$ のときを表し$,$ 赤色の直線は $(3,~-3)$ を通る直線を表す.

$y=ax+b$ が $(3,~-3)$ を通るとき$,$

であるから$,$ 求める $a$ の範囲は

(3) の解答〜$\displaystyle \frac{1}{6}$ 公式の利用〜

$\ell$ が点 $(3,-3)$ を通るので$,$

このとき$,$

$C$ と $\ell$ の交点の $x$ 座標を求める.

$x<3$ において$,$

$x<3$ より$,$

$x\geqq 3$ において$,$

よって$,$ 下図のようになる.

求める青色部分の面積を $S$ とおく.