東京理科大学経営学部（経営学科選択問題）2020年第３問

経営（経営学科のみ）
2020.08.22
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経営学部（経営学科選択問題）2020年第３問の問題文全文

座標平面上で, 放物線 \(C_1~:~y=-p(x-1)^2+q\) と放物線 \(C_2~:~y=2x^2\) が点 \((t,~2t^2)\) において同一の直線に接している. ただし, \(p,~q\) は正の実数とし, \(t\) は \(0<t<1\) の範囲にあるものとする. 次の問いに答えなさい.

(1) \(p,~q\) を \(t\) を用いて表しなさい.

(2) 放物線 \(C_1\) と \(x\) 軸で囲まれた部分の面積 \(S\) を \(t\) を用いて表しなさい.

(3) \(t\) が \(0<t<1\) の範囲を動くとき, (2) で求めた面積 \(S\) が最大となる \(t\) の値, および \(S\) の最大値を求めなさい.

(1) の解答〜共通接線の解き方〜

\begin{align}f(x)=-p(x-1)^2+q,~g(x)=2x^2\end{align}

とおくと,

\begin{align}f^{\prime}(x)=-2p(x-1),~g^{\prime}(x)=4x\end{align}

点 \((t,~t^2)\) において同一の直線に接しているので,

\begin{align}\left\{\begin{array}{l}-p(t-1)^2+q=2t^2 \\ -2p(t-1)=4t \\ \end{array}\right.\end{align}

これを解いて,

\begin{align}p=\frac{2t}{1-t},~~q=2t.\end{align}

(2) の着眼点〜\(\displaystyle \frac{1}{6}\) 公式の利用〜

放物線と直線に囲まれる部分の面積ですから\(\displaystyle \frac{1}{6}\)公式を使うと早いです. この際, 交点の \(x\) 座標を \(\alpha,~\beta\) とおくことで記述量を減らしましょう.

\(\displaystyle \frac{1}{6}\) 公式の詳細は以下にまとめていますので参考にしてください.

1/6公式まとめ
1/6公式についてまとめました。使いこなせば面積計算がかなり速くなります。理科大の過去問を使って練習できるようになっているのでぜひ挑戦してみてください。
tus-biseki.com
2022.02.15

(2) の解答〜\(\alpha ,~\beta \) とおいて記述量を減らす〜

\begin{align}-p(x-1)^2+q=0\end{align}

のとき, \(p>0\) より

\begin{align}(x-1)^2=\frac{q}{p}=2t\cdot \frac{1-t}{2t}=1-t\end{align}

\(0<t<1\) より, \(1-t>0\) であるから,

\begin{align}x-1=\pm\sqrt{1-t}\Leftrightarrow x=1\pm\sqrt{1-t}\end{align}

\begin{align}\alpha =1-\sqrt{1-t},~~\beta =1+\sqrt{1-t}\end{align}

とおく. このとき

\begin{align}S=\int_{\alpha}^{\beta}\left\{-p(x-1)^2+q\right\}dx\end{align}

\begin{align}=p\int_{\alpha}^{\beta}-(x-\alpha)(x-\beta)dx=\frac{p}{6}(\beta -\alpha)^3\end{align}

\begin{align}=\frac{t}{3(1-t)}(2\sqrt{1-t})^3=\frac{8}{3}t\sqrt{1-t}.\end{align}

(3) の解答〜微分して最大値を求める〜

\begin{align}S^{\prime}=\frac{8}{3}\left(\sqrt{1-t}+t\cdot \frac{-1}{2\sqrt{1-t}}\right)\end{align}

\begin{align}=\frac{8}{3}\cdot \frac{2(1-t)-t}{2\sqrt{1-t}}=\frac{4(2-3t)}{3\sqrt{1-t}}\end{align}

\(S^{\prime}=0\) のとき, \(\displaystyle t=\frac{2}{3}\) であるから増減表は以下のようになる.

\begin{array}{c|c|c|c|c|c}t & 0 & \cdots & \displaystyle \frac{2}{3} & \cdots & 1 \\ \hline S^{\prime} & {} & + & 0 & – & {} \\ \hline S & {} & \nearrow & \displaystyle \frac{16\sqrt{3}}{27} & \searrow & {} \\ \end{array}

増減表より, \(\displaystyle t=\frac{2}{3}\) のとき, 最大値 \(\displaystyle \frac{16\sqrt{3}}{27}\) をとる.

geogebraによるデモ

今回の問題をgeogebraで作成してみました. スライダーを動かすことで, \(S\) の動きと面積の値が分かるようになっています. 確かに \(\displaystyle \frac{2}{3}\fallingdotseq 0.67\) で面積が最大値 \(\displaystyle \frac{16\sqrt{3}}{27}\fallingdotseq 1.03\) を取っていることが確認できます.

※左下に再生ボタンがあります. 押すとスライダーが 0.01 刻みで動きます. スライダーの変数は \(a\) になっていますが, 問題の \(t\) に対応しています.

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