公立諏訪　工学部中期2020年第２問

問題文全文

\(k\) を正の実数として\(,\) \(f(x)=e^{-kx}\) とおく. 曲線 \(C~:~y=f(x)\) において\(,\) \(x_0=0\) とし\(,\) \(n=0,~1,~2,~\cdots\) に対して \(C\) 上の点 \((x_n,~f(x_n))\) における接線を \(\ell_{n+1},~\ell_{n+1}\) と \(x\) 軸との交点の \(x\) 座標を \(x_{n+1}\) として数列 \(\{x_n\}\) を定義する. このとき以下の問いに答えなさい.

(1) \(\ell_1\) の方程式を求めなさい.

(2) \(x_1\) を求めなさい.

(3) \(x_2\) を求めなさい.

(4) \(x_{n+1}\) を \(x_n\) を用いて表しなさい.

(5) 一般項 \(\{x_n\}\) を \(n\) を用いて表しなさい.

(1) の解答

\(f^{\prime}(x)=-ke^{-kx}\) より\(,\) \(f^{\prime}(0)=-k\)

(2) の解答

\(\ell_1\) において\(,\) \(y=0\) のとき

\(k>0\) より

(3) の解答

\(\displaystyle f^{\prime}\left(\frac{1}{k}\right)=-ke^{-k\cdot \frac{1}{k}}=-\frac{k}{e}\) より

\(y=0\) のとき

\(k>0\) より

(4) の解答

\(\displaystyle f^{\prime}(x_n)=-ke^{-kx_n}\) より

\(y=0\) のとき

\(ke^{-kx_n}>0\) より

(5) の解答

数列 \(\{x_n\}\) は初項 \(x_0=0,\) 公差 \(\displaystyle \frac{1}{k}\) の等差数列なので