問題文全文
\(0\leqq \theta \leqq \pi\) のとき 関数
\begin{align}y=\sin^3{\theta}+\cos^3{\theta}-2\sin{2\theta}\end{align}
の最大値と最小値を求めよう.
まず \(x=\sin{\theta}+\cos{\theta}\) とおくと \(\displaystyle x=\sqrt{\fbox{$\hskip0.8emア\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}\sin \left(\theta +\frac{\pi}{\fbox{$\hskip0.8emイ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}\right)\) と変形できるので \(x\) のとり得る範囲は \(-\sqrt{\fbox{$\hskip0.8emウ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}\leqq x\leqq \sqrt{\fbox{$\hskip0.8emエ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}\) となる.
次に \(y\) を変形して \(x\) で表すと
\begin{align}y=-\frac{\fbox{$\hskip0.8emオ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}{\fbox{$\hskip0.8emカ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}x^3-\fbox{$\hskip0.8emキ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}x^2+\frac{\fbox{$\hskip0.8emク\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}{\fbox{$\hskip0.8emケ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}x+2\end{align}
となる. これを微分して因数分解すると
\begin{align}\frac{dy}{dx}=-\frac{3}{2}\left(x-\frac{\fbox{$\hskip0.8emコ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}{\fbox{$\hskip0.8emサ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}\right)(x+\fbox{$\hskip0.8emシ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$})\end{align}
となる. これらのことより\(,\) \(y\) の最大値は \(\displaystyle \frac{\fbox{$\hskip0.8emスセ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}{\fbox{$\hskip0.8emソタ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}},\) 最小値は \(\displaystyle -\fbox{$\hskip0.8emチ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}+\frac{1}{2}\sqrt{\fbox{$\hskip0.8emツ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}\) である.
解答
\begin{align}x=\sin{\theta}+\cos{\theta}=\sqrt{2}\sin\left(\theta +\frac{\pi}{4}\right).\end{align}
\(0\leqq \theta \leqq\pi\) より\(,\) \(\displaystyle \frac{\pi}{4}\leqq \theta +\frac{\pi}{4}\leqq \frac{5}{4}\pi\) であるから\(,\)
\begin{align}-\frac{1}{\sqrt{2}}\leqq \sin \left(\theta +\frac{\pi}{4}\right)\leqq 1\end{align}
よって
\begin{align}-1\leqq x\leqq \sqrt{2}.\end{align}
\(x^2=1+2\sin{\theta}\cos{\theta}\) より\(,\)
\begin{align}\sin{\theta}\cos{\theta}=\frac{x^2-1}{2}\end{align}
これを使うと
\begin{align}x^3=\sin^3{\theta}+\cos^3{\theta}+3\sin{\theta}\cos{\theta}(\sin{\theta}+\cos{\theta})\end{align}
\begin{align}=x^3-3\cdot \frac{x^2-1}{2}\cdot x=-\frac{1}{2}x^3+\frac{3}{2}x\end{align}
また\(,\)
\begin{align}2\sin{2\theta}=4\sin{\theta}\cos{\theta}=2(x^2-1)\end{align}
である. 以上より\(,\)
\begin{align}y=-\frac{1}{2}x^3-2x^2+\frac{3}{2}x+2.\end{align}
\begin{align}\frac{dy}{dx}=-\frac{3}{2}x^2-4x+\frac{3}{2}\end{align}
\begin{align}=-\frac{1}{2}(3x^2+8x-3)=-\frac{1}{2}(3x-1)(x+3)\end{align}
\begin{align}=-\frac{3}{2}\left(x-\frac{1}{3}\right)(x+3).\end{align}
よって\(,\) 増減表は以下のようになる.
\begin{align}\begin{array}{c|c|c|c|c|c|}x & -1 & \cdots & \displaystyle \frac{1}{3} & \cdots & \sqrt{2} \\ \hline \displaystyle \frac{dy}{dx} & {} & + & 0 & – & {} \\ \hline y & -1 & \nearrow & \displaystyle \frac{61}{27} & \searrow & \displaystyle -2+\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \end{array}\end{align}
増減表より\(,\)
最大値は \(\displaystyle \frac{61}{27} \).
最小値は \(\displaystyle -2+\frac{1}{2}\sqrt{2}\).
quandle
最小値については穴の形から即座に \(\displaystyle -2+\frac{1}{2}\sqrt{2}\) と決まりますが\(,\) 実際は -1 との大小を比較しなければなりません.
\begin{align}-1-\left(-2+\frac{1}{2}\sqrt{2}\right)=\frac{2-\sqrt{2}}{2}>0\end{align}
であることから\(,\) 確かに
\begin{align}-1>-2+\frac{1}{2}\sqrt{2}\end{align}
であることが確認できます.
考察：最大値をとるθの値
増減表より\(,\) \(\displaystyle x=\frac{1}{3}\) のときに最大値をとることがわかりました.
与えられている関数は \(\theta\) の関数ですから\(,\) このときの \(\theta\) の値が気になります.
\begin{align}\sqrt{2}\sin (\theta +45^{\circ})=\frac{1}{3}\end{align}
のとき
\begin{align}\sin (\theta +45^{\circ})=\frac{\sqrt{2}}{6}\fallingdotseq 0.2357\end{align}
\(45^{\circ}\leqq \theta +45^{\circ}\leqq 225^{\circ}\) であることに注意すると\(,\) 三角比の表より
\begin{align}\sin 13^{\circ}=0.2250,~\sin 14^{\circ}=0.2419\end{align}
であるから\(,\)
\begin{align}166^{\circ}<\theta +45^{\circ}<167^{\circ}\end{align}
よって\(,\)
\begin{align}121^{\circ}<\theta <122^{\circ}.\end{align}
コメント