理工学部（数・物・情・応生・経営工）2021年第２問

理工（数・物・情・応生・経営工）
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２月３日に理工学部（数学科・物理学科・情報科学科・応用生物学科・経営工学科）の入試が行われました. 受験された方お疲れ様でした.

微積分以外の解答速報はtwitterにアップしていますのでよろしければ下記からご覧ください.

問題文全文

\(e\) を自然対数の底とし\(,\) \(f(x)=xe^{-2x}\) とおく. \(\mathrm{O}\) を原点とする座標平面上の曲線 \(y=f(x)\) を \(C\) とおく. \(C\) 上の点 \((t,~f(t))\) における接線の傾きを \(a(t)\) とおく.

(1) \(a(t)\) を求めよ.

\(a(t)\) が最小となるときの \(t\) を \(t_1\) とおく.

(2) \(t_1\) を求めよ.

\(C\) 上の点 \(\mathrm{P}(t_1,~f(t_1))\) における法線を \(\ell\) とおく. \(\ell\) と \(x\) 軸の交点を \(\mathrm{Q}\) とおく.

(3) \(\mathrm{Q}\) の \(x\) 座標を求めよ.

(4) 線分 \(\mathrm{OQ},~\mathrm{QP}\) および曲線 \(C\) で囲まれた部分の面積を求めよ.

quandle
quandle

入試基礎レベルです. 言われている通りに計算すればいいので\(,\) 今回は着眼点は特にありません.

(1) の解答

\begin{align}f^{\prime}(x)=e^{-2x}-2xe^{-2x}=(1-2x)e^{-2x}\end{align}

\begin{align}a(t)=f^{\prime}(t)=(1-2t)e^{-2t}.\end{align}

(2) の解答

\begin{align}a^{\prime}(t)=-2e^{-2t}-2(1-2t)e^{-2t}=4(t-1)e^{-2t}\end{align}

\(4e^{-2t}>0\) であるから\(,\) \(a^{\prime}(t)\) の符号は \(t-1\) の符号だけで決まる.

よって増減表は以下のようになる.

\begin{array}{c|c|c|c} t & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline a^{\prime}(t) & – & 0 & + \\ \hline a(t) & \searrow & 最小 & \nearrow \end{array}

増減表より\(,\)

\begin{align}t_1=1.\end{align}

(3) の解答

\(f^{\prime}(1)=-e^{-2}\) より\(,\)

\begin{align}\ell~:~y=e^2(x-1)+e^{-2}\end{align}

\begin{align}\ell~:~y=e^2x-e^2+e^{-2}\end{align}

\(y=0\) のとき\(,\)

\begin{align}e^2x=e^2-e^{-2}\end{align}

\begin{align}x=1-e^{-4}\end{align}

よって\(,\) \(\mathrm{Q}\) の \(x\) 座標は

\begin{align}1-e^{-4}.\end{align}

(4) の解答

\(a^{\prime}(t)=f^{\prime\prime}(t)\) であるから\(,\) (2) により\(,\)

\begin{align}f^{\prime\prime}(x)=(1-2x)e^{-2x}\end{align}

\(e^{-2x}>0\) であるから\(,\) \(f^{\prime}(x)\) の符号は \(1-2x\) の符号だけで決まり\(,\) \(f^{\prime\prime}(x)\) の符号は (2) の \(a^{\prime}(t)\) の符号に一致するから\(,\) 増減表は以下のようになる.

\begin{array}{c|c|c|c|c|c}x & \cdots & \displaystyle \frac{1}{2} & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline f^{\prime}(x) & + & 0 & – & – & – \\ \hline f^{\prime\prime}(x) & – & – & – & 0 & + \\ \hline f(x) & \cap \nearrow & \displaystyle \frac{1}{2e} & \cap \searrow & \displaystyle \frac{1}{e^2} & \cup \searrow\end{array}

\begin{align}\lim_{x\to \infty}\frac{x}{e^{2x}}=0,~\lim_{x\to -\infty}xe^{-2x}=-\infty\end{align}

quandle
quandle

解説なので凹凸や極限まで調べてますが\(,\) 実際は面積を求めるだけなので凹凸も極限も不要です.

よって\(,\) グラフは以下のようになる.

求める面積 \(S\) は

\begin{align}S=\int_0^1xe^{-2x}dx-\frac{1}{2}\cdot e^{-4}\cdot e^{-2}\end{align}

\begin{align}=\biggl[-\frac{1}{2}xe^{-2x}\biggr]_0^1-\int_0^1-\frac{1}{2}e^{-2x}dx-\frac{1}{2}e^{-6}\end{align}

\begin{align}=-\frac{1}{2}e^{-2}+\frac{1}{2}\biggl[-\frac{1}{2}e^{-2x}\biggr]_0^1-\frac{1}{2}e^{-6}\end{align}

\begin{align}=-\frac{1}{2}e^{-2}-\frac{1}{4}(e^{-2}-1)-\frac{1}{2}e^{-6}=\frac{1}{4}-\frac{3}{4}e^{-2}-\frac{1}{2}e^{-6}.\end{align}

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