問題文全文
\(a\) を正の定数とする. \(t>1\) に対し\(,\) 関数 \(f(t)\) を
\begin{align}f(t)=\int_1^t\frac{a+2-(a^2+6a+11)\log{x}}{x}dx\end{align}
と定める. ただし\(,\) 対数は自然対数を表す. このとき \(f(t)\) は
\begin{align}\log{t}=\frac{a+~\fbox{$\hskip0.8emケ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}{a^2+6a+11}\end{align}
を満たす \(t\) で最大値
\begin{align}\frac{1}{\fbox{$\hskip0.8emコ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}\frac{\left(a+~\fbox{$\hskip0.8emケ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}\right)^{\fbox{$\hskip0.8emサ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}}{a^2+6a+11}\end{align}
をとる. また\(,\) \(f(t)\) が \(\displaystyle \log{t}=\frac{2}{13}\) を満たす \(t\) で最大値をとるのは
\begin{align}a=\frac{\fbox{$\hskip0.8emシ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}~+\sqrt{\fbox{$\hskip0.8emスセ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}}{\fbox{$\hskip0.8emソ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}\end{align}
のときであり\(,\) その最大値は
\begin{align}\frac{\fbox{$\hskip0.8emタ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}~+\sqrt{\fbox{$\hskip0.8emスセ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}}{\fbox{$\hskip0.8emチツ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}\end{align}
となる.
解答
\begin{align}f^{\prime}(t)=\frac{a+2-(a^2+6a+11)\log{t}}{t}\end{align}
\(f^{\prime}(t)=0\) のとき
\begin{align}\log{t}=\frac{a+2}{a^2+6a+11}~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
これを満たす \(t\) を \(T\) とおくと\(,\) 増減表は以下のようになる.
\begin{align}\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline t & 1 & \cdots & T & \cdots \\ \hline f^{\prime}(t) & {} & + & 0 & – \\ \hline f(t) & {} & \nearrow & 最大 & \searrow \\ \hline \end{array} \end{align}
増減表より\(,\) 最大値は
\begin{align}f(T)=\int_1^T\frac{a+2-(a^2+6a+11)\log{x}}{x}dx\end{align}
\begin{align}=\biggl[(a+2)\log{x}-\frac{1}{2}(a^2+6a+11)\left(\log{x}\right)^2\biggr]_1^T\end{align}
quandle
\begin{align}\int \frac{\log{x}}{x}dx=\frac{1}{2}\left(\log{x}\right)^2+C\end{align}
は暗算でやりたいところです. \(\displaystyle \frac{1}{x}\) が \(\log{x}\) の微分となっているので\(,\) 微分接触系です. 不慣れであれば \(t=\log{x}\) と置換すればいけますが\(,\) 時間のロスなので微分接触系の積分はできるようにしておきましょう.
\begin{align}=(a+2)\log{T}-\frac{1}{2}(a^2+6a+11)\left(\log{T}\right)^2\end{align}
\begin{align}=(a+2)\frac{a+2}{a^2+6a+11}-\frac{1}{2}(a^2+6a+11)\frac{(a+2)^2}{(a^2+6a+2)^2}\end{align}
\begin{align}=\frac{1}{2}\frac{(a+2)^2}{a^2+6a+11}~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
\begin{align}\frac{a+2}{a^2+6a+11}=\frac{2}{13}\end{align}
のとき
\begin{align}2a^2+12a+22=13a+26\end{align}
\begin{align}2a^2-a-4=0\end{align}
\(a>0\) より\(,\)
\begin{align}a=\frac{1+\sqrt{33}}{4}~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
\begin{align}a+2=\frac{9+\sqrt{33}}{4}\end{align}
より\(,\) 最大値は
\begin{align}\frac{1}{2}(a+2)\frac{a+2}{a^2+6a+11}=\frac{1}{2}\cdot \frac{9+\sqrt{33}}{4}\cdot \frac{2}{13}\end{align}
\begin{align}=\frac{9+\sqrt{33}}{52}~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
quandle
\begin{align}\frac{1}{2}\frac{(a+2)^2}{a^2+6a+11}=\frac{1}{2}(a+2)\frac{a+2}{a^2+6a+11}\end{align}
と見ることで\(,\) 最小限の計算で済みます. くれぐれも \(\displaystyle a=\frac{1+\sqrt{33}}{4}\) を直接代入しようとしないように！
ケ：２ コ：２ サ：２ シ：１ ス：３
セ：３ ソ：４ タ：９ チ：５ ツ：２
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