理学部第二部2022年第１問の問題文全文
以下の定積分の値を求めなさい. ただし \(\log{x}\) は \(x\) の自然対数を表し\(,\) \(e\) は自然対数の底とする.
(1) \(\displaystyle \int_0^1\frac{x-4}{2x^2+5x+2}dx=\log{\frac{\sqrt{~\fbox{$\hskip0.4emア\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}~}}{\fbox{$\hskip0.4emイ\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}}}\)
(2) \(\displaystyle \int_1^6\frac{x}{\sqrt{10-x}}dx=\frac{\fbox{$\hskip0.4emウエ\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}}{\fbox{$\hskip0.4emオ\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}}\)
(3) \(\displaystyle \int_0^1e^x\sin{\frac{\pi x}{2}}dx=\frac{\fbox{$\hskip0.4emカ\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}~\pi +\fbox{$\hskip0.4emキ\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}~e}{\fbox{$\hskip0.4emク\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}+{\pi}^2}\)
(1) の着眼点〜有理関数の積分は次数に注目！〜
有理関数の積分の問題です. 有理関数というのは分子と分母のそれぞれが多項式になっている関数のことです. 有理関数の分子と分母の次数に注目しましょう.
① （分子の次数）\(\geqq \) （分母の次数）であればまずは分子を分母で割って次数を下げます.
② （分子の次数）＜ （分母の次数）のときは分母が因数分解できるかを確認します.
因数分解できないときはだいぶ面倒なのですが、今回は因数分解できるため割愛します.
因数分解ができる場合はそのまま部分分数分解を行いましょう.
(1) の解答〜部分分数分解の利用〜
\begin{align}\int_0^1\frac{x-4}{2x^2+5x+2}dx=\int_0^1\frac{x-4}{(x+2)(2x+1)}dx\end{align}
\begin{align}=\int_0^1\left(\frac{2}{x+2}-\frac{3}{2x+1}\right)dx=\biggl[2\log{|x+2|}-\frac{3}{2}\log{|2x+1|}\biggr]_0^1\end{align}
quandle
\(\displaystyle \int \frac{3}{2x+1}dx\) は \(\displaystyle \frac{1}{2}\) 倍されることに注意しましょう. 忘れがちです！
\begin{align}=2\log{3}-\frac{3}{2}\log{3}-2\log{2}=\frac{1}{2}\log{3}-2\log{2}\end{align}
\begin{align}=\log{\sqrt{3}}-\log{4}=\log{\frac{\sqrt{3}}{4}}~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
ア：３ イ：４
(2) の解答〜無理関数はまるごと置換〜
\(t=\sqrt{10-x}\) とおく. \(t^2=10-x\) より\(,\)
\begin{align}dx=-2tdt\end{align}
\begin{align}x=10-t^2\end{align}
\begin{align}\begin{array}{|c|ccc|}\hline x & 1 & \to & 6 \\ \hline t & 3 & \to & 2 \\ \hline \end{array}\end{align}
であるから与式は以下のように置換積分できる.
\begin{align}\int_1^6\frac{x}{\sqrt{10-x}}dx=\int_3^2\frac{10-t^2}{t}\cdot (-2tdt)\end{align}
\begin{align}=2\int_2^3(10-t^2)dt=2\biggr[10t-\frac{1}{3}t^3\biggr]_2^3\end{align}
\begin{align}=2\left\{10(3-2)-\frac{1}{3}(27-8)\right\}=\frac{22}{3}~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
ウ：２ エ：２ オ：３
(3) の解答〜同型出現の部分積分〜
\begin{align}I=\int_0^1e^x\sin{\frac{\pi x}{2}}dx\end{align}
\begin{align}=\biggr[e^x\sin{\frac{\pi x}{2}}\biggr]_0^1-\int_0^1e^x\cdot \frac{\pi}{2}\cos{\frac{\pi x}{2}}dx\end{align}
\begin{align}=e-\frac{\pi}{2}\int_0^1e^x\cos{\frac{\pi x}{2}}dx\end{align}
\begin{align}=e-\frac{\pi}{2}\left\{\biggl[e^x\cos{\frac{\pi x}{2}}\biggr]_0^1-\int_0^1e^x\left(-\frac{\pi}{2}\sin{\frac{\pi x}{2}}\right)dx\right\}\end{align}
\begin{align}=e-\frac{\pi}{2}\left(-1+\frac{\pi}{2}\int_0^1e^x\sin{\pi x}{2}dx\right)\end{align}
\begin{align}I=e+\frac{\pi}{2}-\frac{{\pi}^2}{4}I\end{align}
\begin{align}\frac{{\pi}^2+4}{4}I=\frac{2e+\pi}{2}\end{align}
\begin{align}I=\frac{2e+\pi}{2}\cdot \frac{4}{{\pi}^2+4}=\frac{2\pi +4e}{4+{\pi}^2}~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
カ：２ キ：４ ク：４
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