東京理科大学理学部第二部2022年第３問

東京理科大学理学部第二部2022年第３問の問題文全文
(1) の解答〜ひし形であることに気付きましょう〜
(2) の解答〜数Ⅰレベルなので確実に〜
(3) の解答〜微分して増減表をかく〜

東京理科大学理学部第二部2022年第３問の問題文全文

$\displaystyle \mathrm{AB}=1,~\mathrm{BC}=1,~\angle \mathrm{BAD}=\frac{2}{3}\pi$ である平行四辺形 $\mathrm{ABCD}$ において$,$ 線分 $\mathrm{AC}$ と線分 $\mathrm{BD}$ の交点を $\mathrm{E}$ とし$,$ 線分 $\mathrm{BE}$ 上に点 $\mathrm{P}$ をとる. 点 $\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{BE}$ 上を動くとし$,$ $\angle \mathrm{DPA}=\theta $ $,$ $0<\theta <\pi $ とする.

(1) 点 $\mathrm{P}$ が線分 $\mathrm{BE}$ 上を動くとき$,$ $\theta $ のとる値の最小値は $\displaystyle \frac{~\fbox{$\hskip0.4emニ\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}~}{~\fbox{$\hskip0.4emヌ\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}~}\pi$ であり$,$ 最大値は $\displaystyle \frac{~\fbox{$\hskip0.4emネ\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}~}{~\fbox{$\hskip0.4emノ\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}~}\pi$ である.

(2) $\mathrm{AP}+\mathrm{BP}+\mathrm{CP}$ は$,$ $\theta $ を用いて

\begin{align}\mathrm{AP}+\mathrm{BP}+\mathrm{CP}=\frac{~\fbox{$\hskip0.4emハ\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}~}{\sin{\theta}}-\frac{~\fbox{$\hskip0.4emヒ\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}~}{~\fbox{$\hskip0.4emフ\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}~}\frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}+\frac{~\sqrt{\fbox{$\hskip0.4emへ\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}}~}{~\fbox{$\hskip0.4emホ\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}~}\end{align}

とかける.

(3) $\mathrm{AP}+\mathrm{BP}+\mathrm{CP}=f(\theta )$ と表す. $\theta $ が $\displaystyle \frac{~\fbox{$\hskip0.4emニ\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}~}{~\fbox{$\hskip0.4emヌ\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}~}~\pi~\leqq \theta \leqq \frac{~\fbox{$\hskip0.4emネ\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}~}{~\fbox{$\hskip0.4emノ\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}~}~\pi$ の範囲を動くとき$,$ 関数 $f(\theta )$ は $\displaystyle \theta =\frac{~\fbox{$\hskip0.4emマ\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}~}{~\fbox{$\hskip0.4emミ\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}~}~\pi$ で最小値 $\sqrt{~\fbox{$\hskip0.4emム\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}~}$ をとる.

(1) の解答〜ひし形であることに気付きましょう〜

※geogebraで作図しました. 点 $\mathrm{F}$ を動かすと$,$ $\theta $ の値が連動して変化するようになっています.

上の図のように平行四辺形 $\mathrm{ABCD}$ は特にひし形になる. ひし形の対角線は直交するので$,$

\begin{align}\angle \mathrm{AEB}=\frac{\pi}{2}\end{align}

線分 $\mathrm{AC}$ は $\angle \mathrm{BAD}$ の二等分線であるので$,$

\begin{align}\angle \mathrm{BAE}=\frac{\pi}{3}\end{align}

$\triangle \mathrm{ABE}$ は直角三角形であるから$,$

\begin{align}\angle \mathrm{ABE}=\frac{\pi}{6}\end{align}

点 $\mathrm{P}$ が点 $\mathrm{B}$ と一致するとき $\theta $ は最小値をとり$,$ 点 $\mathrm{E}$ と一致するとき $\theta $ は最大値をとる.

よって$,$

\begin{align}最小値は ~\frac{\pi}{6},~最大値は ~\frac{\pi}{2}~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}

ニ：１　ヌ：６　ネ：１　ノ：２

(2) の解答〜数Ⅰレベルなので確実に〜

$\triangle \mathrm{ABE}$ は $1~:~2~:~\sqrt{3}$ の直角三角形であり$,$ $\mathrm{AB}=1$ であるから$,$

\begin{align}\mathrm{AE}=\frac{1}{2},~\mathrm{BE}=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{align}

$\triangle \mathrm{APE}$ が直角三角形であることを利用して$,$

\begin{align}\mathrm{AP}=\mathrm{CP}=\frac{1}{2\sin{\theta}}\end{align}

\begin{align}\mathrm{BP}=\mathrm{BE}-\mathrm{EP}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\cos{\theta}}{2\sin{\theta}}\end{align}

以上より$,$

\begin{align}\mathrm{AP}+\mathrm{BP}+\mathrm{CP}=\frac{1}{\sin{\theta}}-\frac{1}{2}\cdot \frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}+\frac{\sqrt{3}}{2}~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}

ハ：１　ヒ：１　フ：２　ヘ：３　ホ：２

(3) の解答〜微分して増減表をかく〜

$\displaystyle f(\theta )=\frac{2-\cos{\theta}}{2\sin{\theta}}+\frac{\sqrt{3}}{2}$ とおく.

$\displaystyle \frac{\pi}{6}\leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ において$,$ $f(\theta )$ は微分可能である.

\begin{align}f^{\prime}(\theta )=\frac{\sin{\theta}\cdot 2\sin{\theta}-(2-\cos{\theta})\cdot 2\sin{\theta}}{4\sin^2{\theta}}=\frac{1-2\cos{\theta}}{2\sin^2{\theta}}\end{align}

$\displaystyle \frac{\pi}{6}\leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$ において$,$ $2\sin^2{\theta}>0$ であるから$,$ $1-2\cos{\theta}$ と $f^{\prime}(\theta )$ の符号は一致するので$,$ 増減表は以下のようになる.

\begin{align}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline \theta & \displaystyle \frac{\pi}{6} & \cdots & \displaystyle \frac{\pi}{3} & \cdots & \displaystyle \frac{\pi}{2}\\ \hline f^{\prime}(\theta ) & {} & – & 0 & + & {} \\ \hline f(\theta ) & {} & \searrow & \sqrt{3} & \nearrow & {} \\ \hline \end{array}\end{align}

増減表より$,$

\begin{align}\theta = \frac{\pi}{3}~のとき,~最小値~\sqrt{3}~をとる~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}