東京理科大学創域理工学部（建築・先化・電電・航空宇宙・社基工）2023年第３問

創域理工（建築・先化・電電・航空宇宙・社基工）

2023.07.15

創域理工学部（建築・先化・電電・航空宇宙・社基工）2023年第３問の問題文全文
(1) の解答〜公式に当てはめるだけ〜
(2) の解答〜微分可能な \(x\) の範囲に注意〜
(3) の解答〜(1) と (2) を連立〜
(4) の解答〜面積は（上の式）ー（下の式）〜

創域理工学部（建築・先化・電電・航空宇宙・社基工）2023年第３問の問題文全文

\(k>0,~m>0\) とし\(,\) \(x\geqq 0\) に対して

\begin{align}f(x)=e^{kx},~g(x)=\sqrt{mx}\end{align}

とおく. ただし\(,\) \(e\) は自然対数の底とする. さらに\(,\) 座標平面上の曲線 \(y=f(x)~(x\geqq 0)\) を \(C_1\)\(,\) 曲線 \(y=g(x)~(x\geqq 0)\) を \(C_2\) とおく. 以下\(,\) \(a>0\) とする.

(1) 点 \((a,~f(a))\) における曲線 \(C_1\) の接線の方程式を\(,\) \(a\) と \(k\) を用いて表せ.

(2) 点 \((a,~g(a))\) における曲線 \(C_2\) の接線の方程式を\(,\) \(a\) と \(m\) を用いて表せ.

以下\(,\) 曲線 \(C_1,~C_2\) がある点 \(\mathrm{P}\) を共有し\(,\) \(\mathrm{P}\) における \(C_1\) と \(C_2\) の接線が一致するとする.

(3) 点 \(\mathrm{P}\) の \(x\) 座標を \(b\) とするとき\(,\) \(b\) と \(m\) を\(,\) \(k\) を用いて表せ.

(4) 曲線 \(C_1,~C_2\) および \(y\) 軸で囲まれた図形の面積を\(,\) \(k\) を用いて表せ.

(1) の解答〜公式に当てはめるだけ〜

\begin{align}f^{\prime}(x)=ke^{kx}\end{align}

より\(,\) \((a,e^{ka})\) における接線の方程式は

\begin{align}y=ke^{ka}(x-a)+e^{ka}\end{align}

\begin{align}y=ke^{ka}x+(1-ak)e^{ka}~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}

(2) の解答〜微分可能な \(x\) の範囲に注意〜

\(x>0\) において\(,\)

\begin{align}g^{\prime}(x)=\frac{m}{2\sqrt{mx}}=\frac{\sqrt{m}}{2\sqrt{x}}\end{align}

より\(,\) \((a,~\sqrt{ma})\) における接線の方程式は

\begin{align}y=\frac{\sqrt{m}}{2\sqrt{a}}(x-a)+\sqrt{ma}\end{align}

\begin{align}y=\frac{\sqrt{ma}}{2a}x+\frac{\sqrt{ma}}{2}~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}

quandle

\(y=g(x)\) の定義域は \(x\geqq 0\) ですが\(,\) 微分可能な \(x\) の範囲は \(x>0\) なので最初に「\(x>0\) において」と断りましょう. \(a>0\) という条件がありますから\(,\) \(x=a\) を \(y=g^{\prime}(x)\) に代入する行為は問題なく\(,\) \(g^{\prime}(a)\) という値が自然に定義されます.

(3) の解答〜(1) と (2) を連立〜

\(\mathrm{P}\) における \(C_1,~C_2\) の接線が一致するので\(,\) 以下が成り立つ.

\begin{align}\left\{\begin{array}{cc}e^{kb}=\sqrt{mb} & \cdots ①\\ \displaystyle ke^{kb}=\frac{\sqrt{mb}}{2b} & \cdots ②\end{array}\right.\end{align}

① を ② に代入して\(,\) 両辺を \(e^{kb}(>0)\) で割ると\(,\)

\begin{align}b=\frac{1}{2k}\end{align}

を得る. これを ① に代入して\(,\)

\begin{align}e^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{m}{2k}}\end{align}

\(e^{\frac{1}{2}}>0,~\displaystyle \sqrt{\frac{m}{2k}}>0\) であるから\(,\) 両辺を \(2\) 乗して\(,\)

\begin{align}e=\frac{m}{2k}\end{align}

\begin{align}\therefore m=2ek,~b=\frac{1}{2k}~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}

quandle

「両辺を \(2\) 乗する」という操作は一般的には同値ではない変形になるので\(,\) 左辺も右辺も正であることを断ることで\(,\) 同値性が保たれるという主張をしています.

(4) の解答〜面積は（上の式）ー（下の式）〜

求める面積を \(S\) とおくと\(,\)

\begin{align}S=\int_0^b(e^{kx}-\sqrt{mx})dx\end{align}

\begin{align}=\biggl[\frac{1}{k}e^{kx}-\frac{2}{3m}(mx)^{\frac{3}{2}}\biggr]_0^b\end{align}

\begin{align}=\frac{1}{k}(e^{kb}-1)-\frac{2}{3}b\sqrt{mb}\end{align}

\begin{align}=\frac{1}{k}(\sqrt{e}-1)-\frac{1}{3k}\sqrt{e}=\frac{2\sqrt{e}-3}{3k}~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}