先進工学部2024年第４問の問題文全文
関数 \(f(x)\) を
\begin{align}f(x)=\frac{x^3-3x^2+3x+6}{x^2-2x+2}\end{align}
と定める.
(1) 方程式 \(f(x)-x=0\) の実数解は
\begin{align}\fbox{$\hskip0.4em（あ）\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$},~\fbox{$\hskip0.4em（い）\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}\end{align}
である.
(2) 関数 \(f(x)\) の導関数 \(f^{\prime}(x)\) は\(,\)
\begin{align}f^{\prime}(x)=~\fbox{$\hskip0.4em（う）\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}~\end{align}
である.
(3) 曲線 \(y=f(x)\) 上の点 \(\mathrm{A}(2,~f(2))\) における法線の方程式は
\begin{align}\fbox{$\hskip0.4em（え）\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}\end{align}
である.
(4) \(x\) が \(-1\leqq x \leqq 6\) の範囲を動くとき\(,\) 関数 \(f(x)\) の最大値は
\begin{align}\fbox{$\hskip0.4em（お）\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}\end{align}
であり\(,\) 最小値は
\begin{align}\fbox{$\hskip0.4em（か）\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}\end{align}
である.
(1) の解答～分母を両辺にかける～
\begin{align}f(x)-x=0\end{align}
\begin{align}\Leftrightarrow \frac{x^3-3x^2+3x+6}{x^2-2x+2}=x\end{align}
\begin{align}\Leftrightarrow x^3-3x^2+3x+6=x^3-2x^2+2x\end{align}
\begin{align}\Leftrightarrow x^2-x-6=0\end{align}
\begin{align}\Leftrightarrow (x-3)(x+2)=0\end{align}
\begin{align}\therefore x=-2,~3~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
(2) の解答～商の微分～
\begin{align}f^{\prime}(x)=\frac{(3x^2-6x+3)(x^2-2x+2)-(x^3-3x^2+3x+6)(2x-2)}{(x^2-2x+2)^2}\end{align}
\begin{align}=\frac{x^4-4x^3+9x^2-24x+18}{(x^2-2x+2)^2}\end{align}
\begin{align}=\frac{(x-1)(x-3)(x^2+6)}{(x^2-2x+2)^2}~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
quandle
分子が \(4\) 次式になっているので因数分解ができないか検討しましょう.
x^4の係数が \(1\) で定数項が \(18\) なので\(,\) 代入して \(0\) になる数の候補が
\begin{align}\pm 1,~\pm 2,~\pm 3,~\pm 6,~\pm 9,~\pm 18\end{align}
と多いので\(,\) 大変そうですが、今回は \(1\) がすぐに見つかるのでそこまで大変ではありません.
(3) の解答～法線の方程式～
\begin{align}f(2)=\frac{8-12+6+6}{4-4+2}=4\end{align}
\begin{align}f^{\prime}(2)=\frac{1\cdot (-1)\cdot 10}{(4-4+2)^2}=-\frac{5}{2}\end{align}
より\(,\) 法線の方程式は\(,\)
\begin{align}y=\frac{2}{5}(x-2)+4\end{align}
\begin{align}\therefore y=\frac{2}{5}x+\frac{16}{5}~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
(4) の解答～増減表をかく～
\begin{align}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x & -1 & \cdots & 1 & \cdots & 3 & \cdots & 6 \\ \hline f^{\prime}(x) & + & + & 0 & – & 0 & + & + \\ \hline f(x) & \displaystyle -\frac{1}{5} & \nearrow & 7 & \searrow & 3 & \nearrow & \displaystyle \frac{66}{13} \\ \hline \end{array}\end{align}
増減表より\(,\)
\begin{align}x=1~のとき最大値~7,~x=-1~のとき最小値~-\frac{1}{5}~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
※実際のグラフは以下のようになります.
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