問題文全文
\begin{align}f(x)=\sin x+\cos x+\tan x+x+2x^2+3x^3\end{align}
とする. このとき\(,\)
\begin{align}\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}f(x)dx=\sqrt{\fbox{$\hskip0.8emウ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}+\frac{\pi^{\fbox{$\hskip0.8emエ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}}{\fbox{$\hskip0.8emオカ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}\end{align}
である.
着眼点
\begin{align}\int_{-a}^af(x)dx=\left\{\begin{array}{l}0~~(f(x) は奇関数) \\ \displaystyle 2 \int_0^af(x)dx~~(f(x) は偶関数) \\ \end{array}\right.\end{align}
が使えそうな形です. \(f(x)\) が偶関数か奇関数かを判断する必要があります.
\(f(-x)=f(x)\) が成り立つとき\(,~f(x)\) を偶関数といい\(,~f(-x)=-f(x)\) が成り立つとき\(,\) \(f(x)\) を奇関数といいます.
今回の場合 \(\sin x,~\tan x,~x,~3x^3\) は奇関数なので\(,\) 積分すると 0 になります.
また\(,\) \(\cos x,~2x^2\) は偶関数なので\(,\) この 2 つだけを積分すればいいことがわかります.
解答
\begin{align}\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}(\sin x+\cos x+\tan x+x+2x^2+3x^3)dx\end{align}
\begin{align}=2\int_0^{\frac{\pi}{4}}(\cos x+2x^2)dx=2\biggl[\sin x+\frac{2}{3}x^3\biggr]_0^{\frac{\pi}{4}}\end{align}
\begin{align}=2\left\{\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{2}{3}\left(\frac{\pi}{4}\right)^3\right\}=\sqrt{2}+\frac{{\pi}^3}{48}.\end{align}
類題紹介
奇関数・偶関数の積分に関する類題を紹介します.
① 公立諏訪 中期 2020年第３問
② 公立山口 工学部中期 2020第４問
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