問題文全文
\(a,~b\) を実数とし\(,\)
\begin{align}f(x)=x^3+3ax^2+bx+1-a^2\end{align}
とおく.
(a) 整式 \(f(x)\) が \(x-2\) で割り切れるような実数の組 \((a,~b)\) のうち \(b\) の値が最小になるのは\(,\) \(\displaystyle (a,~b)=\left(\fbox{$\hskip0.8emソ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$},~-\frac{\fbox{$\hskip0.8emタチ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}{\fbox{$\hskip0.8emツ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}\right)\) のときである.
このとき\(,\) 偶関数の性質と部分積分法を用いることにより
\begin{align}\int_{-1}^1x^2e^{|x|}dx=\fbox{$\hskip0.8emテ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}\int_0^1x^2e^xdx=\fbox{$\hskip0.8emト\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}e-\fbox{$\hskip0.8emナ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}\int_0^1xe^xdx=\fbox{$\hskip0.8emニ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}e-\fbox{$\hskip0.8emヌ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}\end{align}
となるので
\begin{align}\int_{-1}^1f(x)e^{|x|}dx=-\fbox{$\hskip0.8emネノ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}e-\fbox{$\hskip0.8emハ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}\end{align}
となる. ここで \(e\) は自然対数の底を表す.
(b) 数列 \(\{x_n\}\) は \(x_1=1\) で\(,\) \(n=2,~3,~4,~\cdots\) のとき
\begin{align}x_n=\left\{\begin{array}{cc}\displaystyle \frac{f^{\prime}(x_{n-1})}{x_{n-1}} &(x_{n-1}\neq 0~~のとき) \\ 1 & (x_{n-1}=0~~のとき)\end{array}\right.\end{align}
を満たすとする.
\(x_2=2,~x_3=5\) となるのは \(\displaystyle (a,~b)=\left(-\frac{\fbox{$\hskip0.8emヒ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}{\fbox{$\hskip0.8emフ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}},~\fbox{$\hskip0.8emへ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}\right)\) のときであり\(,\) このとき \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x_n}{4^n}=\frac{\fbox{$\hskip0.8emホ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}{\fbox{$\hskip0.8emマ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}\) である. また \(x_2=2,~x_3=0\) となるのは \(\displaystyle (a,~b)=\left(-\frac{\fbox{$\hskip0.8emミム\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}{\fbox{$\hskip0.8emメ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}},~\fbox{$\hskip0.8emモヤ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}\right)\) のときであり\(,\) このとき \(\displaystyle \sum_{n=1}^{31}x_n=\fbox{$\hskip0.8emユヨ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}\) である. ただし\(,\) \(f^{\prime}(x)\) で関数 \(f(x)\) の導関数を表す.
偶関数・奇関数の積分について
\(f(-x)=f(x)\) が成り立つとき\(,~f(x)\) を偶関数といい\(,~f(-x)=-f(x)\) が成り立つとき\(,\) \(f(x)\) を奇関数といいます. 積分範囲が \(-a\leqq x\leqq a\) の場合\(,\) 以下のことが成り立ちます.
\begin{align}\int_{-a}^af(x)dx=\left\{\begin{array}{cc}0 & (f(x) は奇関数) \\ \displaystyle 2 \int_0^af(x)dx & (f(x) は偶関数) \\ \end{array}\right.\end{align}
(a) の解答
\(f(2)=0\) より\(,\)
\begin{align}8+12a+2b+1-a^2=0\end{align}
\begin{align}b=\frac{1}{2}a^2-6a-\frac{9}{2}=\frac{1}{2}(a-6)^2-\frac{45}{2}.\end{align}
よって\(,\)
\begin{align}(a,~b)=\left(6,~-\frac{45}{2}\right).\end{align}
quandle
整式 \(P(x)\)を 1 次式 \(x-\alpha\) で割ったあまりは \(P(\alpha)\) です.
これを剰余の定理と言います.
\begin{align}\int_{-1}^1x^2e^{|x|}dx=2\int_0^1x^2e^xdx\end{align}
\begin{align}=2\left(\bigl[x^2e^x\bigr]_0^1-\int_0^12xe^xdx\right)=2e-4\int_0^1xe^xdx\end{align}
\begin{align}=2e-4\left(\bigl[xe^x\bigr]_0^1-\int_0^1e^xdx\right)=2e-4\left(e-\bigl[e^x\bigr]_0^1\right)=2e-4.\end{align}
quandle
\(g(x)=x^2e^{|x|}\) とおくと
\begin{align}g(-x)=(-x)^2e^{|-x|}=x^2e^{|x|}=g(x)\end{align}
となるので偶関数ですね.
\(\displaystyle f(x)=x^3+18x^2-\frac{45}{2}x-35\) より\(,\)
\begin{align}\int_{-1}^1f(x)e^{|x|}dx=\int_{-1}^1\left(x^3+18x^2-\frac{45}{2}x-35\right)e^{|x|}dx\end{align}
\begin{align}=\int_{-1}^1\left(x^3-\frac{45}{2}x\right)e^{|x|}dx+18\int_{-1}^1x^2e^{|x|}dx-70\int_0^1e^xdx\end{align}
\begin{align}=0+18(2e-4)-70\bigl[e^x\bigr]_0^1=-34e-2.\end{align}
quandle
\(\displaystyle \left(x^3-\frac{45}{2}x\right)e^{|x|}\) は奇関数\(,\) \(e^{|x|}\) は偶関数ですね.
(b) の解答
\begin{align}f^{\prime}(x)=3x^2+6ax+b\end{align}
\(\displaystyle x_2=\frac{f^{\prime}(x_1)}{x_1}=\frac{3+6a+b}{1}=2\) より\(,\)
\begin{align}6a+b=-1~~~~\cdots ①\end{align}
\(\displaystyle x_3=\frac{f^{\prime}(x_2)}{x_2}=\frac{12+12a+b}{2}=5\) より\(,\)
\begin{align}12a+b=-2~~~~\cdots ②\end{align}
①\(,\) ②より\(,\)
\begin{align}a=-\frac{1}{6},~b=0.\end{align}
このとき\(,\)
\begin{align}f^{\prime}(x)=3x^2-x\end{align}
このとき\(,\)
\begin{align}x_{n+1}=\frac{3x_n^2-x_n}{x_n}=3x_n-1\end{align}
\begin{align}x_{n+1}-\frac{1}{2}=3\left(x_n-\frac{1}{2}\right)\end{align}
よって\(,\)
\begin{align}x_n=\frac{1}{3}\cdot 3^{n-1}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(3^{n-1}+1)\end{align}
このとき\(,\)
\begin{align}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x_n}{4^n}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\left\{\frac{1}{4}\cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}+\left(\frac{1}{4}\right)^n\right\}\end{align}
\begin{align}=\frac{1}{8}\cdot \cfrac{1}{1-\cfrac{3}{4}}+\frac{1}{2}\cdot \cfrac{\cfrac{1}{4}}{1-\cfrac{1}{4}}=\frac{2}{3}.\end{align}
また\(,\) \(x_2=2\) より\(,\)
\begin{align}6a+b=-1~~~~\cdots ①\end{align}
\(\displaystyle x_3=\frac{12+12a+b}{2}=0\) より\(,\)
\begin{align}12a+b=-12~~~~\cdots ②\end{align}
①\(,\) ③より
\begin{align}a=-\frac{11}{6},~b=10.\end{align}
\(x_3=0\) より \(x_4=1(=x_1)\) であるから\(,\) \(\{x_n\}\) は \(1,~2,~0\) が繰り返し現れる. よって\(,\)
\begin{align}\sum_{n=1}^{31}x_n=10\cdot (1+2+0)+1=31.\end{align}
quandle
\(31\div 3=10\) あまり 1 ですから\(,\) \(x_1\) 〜 \(x_{30}\) までに \(1,~2,~0\) が 10 回現れます. それに \(x_{31}=1\) を足せばいいですね.
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