問題文全文
\(a, b, c\) を正の実数とし, 座標空間において, ３点 \(\mathrm{A}(a, 0, 0),\mathrm{B}(0, b, 0), \mathrm{C}(0, 0, c)\) をとる. 三角形 \(\mathrm{ABC}\) の面積を \(S\) とおく.
(1) \(\cos \angle \mathrm{BAC}\) と \(S\) を, それぞれ \(a, b, c\) を用いて表せ.
以下では,
\begin{align}a=\frac{1}{\sin \theta}, b=\cfrac{1}{\sin \left(\theta +\cfrac{\pi}{4}\right)}, c=\cfrac{1}{\cos \left(\theta +\cfrac{\pi}{4}\right)}\end{align}
を満たすものとする. ただし, \(\theta\) は
\begin{align}(*)\left\{ \begin{array}{l} -\pi<\theta \leqq \pi \\ \sin \theta >0 \\ \displaystyle \sin \left(\theta +\frac{\pi}{4}\right)>0 \\ \displaystyle \cos \left(\theta +\frac{\pi}{4}\right)>0 \end{array}\right.\end{align}
を満たす範囲を動く.
(2) 条件（＊）を満たす \(\theta\) の範囲を求めよ.
(3) \(t=a^2\) とおく. \(S^2\) を \(t\) についての分数式で表せ.
(4) \(S\) が最小となるときの \(a^2\) の値を求めよ.
(1)の解答
quandle
余弦定理を用いて求める方法もありますが, ベクトルの内積を利用して余弦の値を求め, ベクトルにおける三角形の面積公式を利用する流れで解く方が計算量は少ないと思います. (3)に備えて \(a^2\) でまとめておくとよいでしょう.
\(\overrightarrow{AB}=(-a, b, 0), \overrightarrow{AC}=(-a, 0, c)\) であり, \(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=a^2\) より,
\begin{align}\cos \angle {\mathrm{BAC}}=\frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{AC}\right|}\end{align}
\begin{align}=\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{a^2+c^2}}=\frac{a^2}{\sqrt{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}}.\end{align}
\begin{align}S=\frac{1}{2}\sqrt{{\left|\overrightarrow{AB}\right|}^2{\left|\overrightarrow{AC}\right|}^2-\left(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}\right)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{(a^2+b^2)(a^2+c^2)-a^4}\end{align}
\begin{align}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}=\frac{1}{2}\sqrt{(b^2+c^2)a^2+b^2c^2}.\end{align}
(2)の解答
\begin{align}(*)\left\{\begin{array}{l}-\pi<\theta\leqq \pi & \cdots ①\\ \sin \theta >0 & \cdots ②\\ \displaystyle \sin \left(\theta +\frac{\pi}{4}\right)>0 & \cdots ③\\ \displaystyle \cos \left(\theta +\frac{\pi}{4}\right)>0 & \cdots ④\end{array}\right.\end{align}
②より
\begin{align}0<\theta<\pi\end{align}
.
quandle
③, ④は \(\displaystyle-\frac{3}{4}\pi<\theta +\frac{\pi}{4}\leqq \frac{5}{4}\pi\) の範囲の中で考えます.
③より
\(\displaystyle 0<\theta +\frac{\pi}{4}<\pi~~\) つまり \(~\displaystyle-\frac{\pi}{4}<\theta<\frac{3}{4}\pi\).
④より
\(\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta +\frac{\pi}{4}<\frac{\pi}{2}~~\) つまり \(~\displaystyle -\frac{\pi}{4}<\theta<\frac{\pi}{4}\).
これらの共通範囲を求めて
\begin{align} 0<\theta <\frac{\pi}{4}\end{align}
.
(3)の解答
quandle
(1)で求めた \(S\) の式を見ると, \(b^2+c^2\) と \(b^2c^2\) を \(t\) で表せればよいことが分かります. 計算してみるとこの２つは同じものであることが分かります. 実質 \(b^2+c^2\) を \(t\) で表せればよいことになります.
\begin{align}b^2+c^2=\cfrac{1}{\sin^2\left(\theta +\cfrac{\pi}{4}\right)}+\cfrac{1}{\cos^2\left(\theta +\cfrac{\pi}{4}\right)}\end{align}
\begin{align}=\cfrac{\sin^2\left(\theta +\cfrac{\pi}{4}\right)+\cos^2\left(\theta +\cfrac{\pi}{4}\right)}{\sin^2\left(\theta +\cfrac{\pi}{4}\right)\cos^2\left(\theta +\cfrac{\pi}{4}\right)}=\cfrac{1}{\sin^2\left(\theta +\cfrac{\pi}{4}\right)\cos^2\left(\theta +\cfrac{\pi}{4}\right)}=b^2c^2\end{align}
であるから, \(I=b^2+c^2(=b^2c^2)\)とおくと, \(\displaystyle \sin \theta=\frac{1}{a}\) であることに注意して
\begin{align}I=\cfrac{1}{\cfrac{1}{4}\sin^2\left(2\theta +\cfrac{\pi}{2}\right)}=\cfrac{4}{\cos^2{2\theta}}\end{align}
\begin{align}=\left(\cfrac{2}{1-2\sin^2 \theta}\right)^2=\left(\cfrac{2}{1-\cfrac{2}{a^2}}\right)^2=\left(\cfrac{2a^2}{a^2-2}\right)^2\end{align}
(1)より, \(\displaystyle S=\frac{1}{2}\sqrt{(b^2+c^2)a^2+b^2c^2}=\frac{1}{2}\sqrt{I(a^2+1)}\) であるから
\begin{align}S^2=\frac{1}{4}\left(\frac{2a^2}{a^2-2}\right)^2(a^2+1)=\frac{t^2(t+1)}{(t-2)^2}.\end{align}
(4)の着眼点
① \(S\) は面積なので正です. よって, \(S^2\) が最小値をとるとき, \(S\) も最小値をとります.
② \(S^2\) は分数関数なので, 微分を用いて最小値を求めます. \(t\) の範囲が分からないと増減表が書けません.
③ \(t(=a^2)\) は \(\theta\) の関数です. \(\theta\) の範囲は (2) で求めているのでこれを利用して \(t\) の範囲を求めます.
(4)の解答
\(\displaystyle 0<\theta <\frac{\pi}{4}\) において, \(\displaystyle 0<\sin \theta <\frac{1}{\sqrt{2}}\) であるから, \(t>2\) である.
\(S>0\) より, \(S^2\) が最小値をとるとき \(S\) も最小値をとるから,
\(\displaystyle f(t)=\frac{t^2(t+1)}{(t-2)^2}\)
とおき, \(f(t)\) の最小値を求めればよい.
\begin{align}f^{\prime}(t)=\frac{(3t^2+2t)(t-2)^2-(t^3+t^2)\cdot 2(t-2)}{(t-2)^4}\end{align}
\begin{align}=\frac{(3t^2+2t)(t-2)-2(t^3+t^2)}{(t-2)^3}\end{align}
\begin{align}=\frac{t^3-6t^2-4t}{(t-2)^3}=\frac{t(t^2-6t-4)}{(t-2)^3}\end{align}
\(f^{\prime}(t)=0\) のとき, \(t^2-6t-4=0\)
\(t>2\) より, \(t=3+\sqrt{13}\)
このとき, 増減表は次のようになる.
\begin{array}{c|c|c|c|c}t & (2) & \cdots & 3+\sqrt{13} & \cdots \\ \hline f^{\prime}(t) & {} & – & 0 & + \\ \hline f(t) & {} & \searrow & 極小 & \nearrow \\ \end{array}
よって, \(a^2=3+\sqrt{13}\) で最小値をとる.
