問題文全文
3 つの等式
\begin{align}x^2f(x)=3x^5+2x^4+x^3+2\int_0^xg(t)dt\end{align}
\begin{align}g(x)=xf(x)+4x^3+x^2\int_{-1}^1g(t)dt\end{align}
\begin{align}f(-1)=g(-1)\end{align}
をみたす整式 \(f(x),~g(x)\) を求めると\(,\)
\begin{align}f(x)=\fbox{$\hskip0.8emヌ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}x^3+\fbox{$\hskip0.8emネ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}x^2-\fbox{$\hskip0.8emノ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}x-\fbox{$\hskip0.8emハヒ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}\end{align}
\begin{align}g(x)=\fbox{$\hskip0.8emフ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}x^4+\fbox{$\hskip0.8emヘホ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}x^3-\fbox{$\hskip0.8emマ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}x^2-\fbox{$\hskip0.8emミム\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}x\end{align}
となる.
着眼点
\(f(x)\) と \(g(x)\) に関する連立方程式です. 連立方程式の基本は一文字消去です.
\(f(x)\) か \(g(x)\) を消去することを考えます.
\(\displaystyle \int_{-1}^1g(t)dt\) は定数なので \(g(x)\) は \(f(x)\) だけでかかれていると見ることができます. つまり\(,\) \(g(x)\) を消去することができそうです.
解答
\(\displaystyle k=\int_{-1}^1g(t)\) とおく.
\begin{align}g(x)=xf(x)+4x^3+kx^2\end{align}
\begin{align}x^2f(x)=3x^5+2x^4+x^3+2\int_0^x(tf(t)+4t^3+kt^2)dt\end{align}
両辺を \(x\) で微分して\(,\)
\begin{align}x^2f^{\prime}(x)=15x^4+16x^3+(3+2k)x^2\end{align}
\begin{align}x^2f^{\prime}(x)=x^2(15x^2+16x+3+2k)\end{align}
よって\(,\)
\begin{align}f^{\prime}(x)=15x^2+16x+3+2k\end{align}
quandle
\(x=0\) かもしれないのに \(x^2\) で両辺を割っていいの？と思うかもしれません.方程式の場合はもちろんダメですが\(,\) 今回は任意の実数 \(x\) に対して成り立つ恒等式だから大丈夫です.
したがって\(,\)
\begin{align}f(x)=5x^3+8x^2+(3+2k)x+C\end{align}
このとき\(,\)
\begin{align}g(x)=x\{5x^3+8x^2+(3+2k)x+C\}+4x^3+kx^2\end{align}
\begin{align}g(x)=5x^4+12x^3+3(k+1)x^2+Cx\end{align}
\(\displaystyle k=\int_{-1}^1g(x)dx\) より\(,\)
\begin{align}k=2\int_0^1\{5x^4+3(k+1)x^2\}dx\end{align}
\begin{align}=2\biggl[x^5+(k+1)x^3\biggr]_0^1=2(k+2)\end{align}
よって\(,\)
\begin{align}k=-4\end{align}
このとき\(,\)
\begin{align}f(x)=5x^3+8x^2-5x+C,~g(x)=5x^4+12x^3-9x^2+Cx\end{align}
\(f(-1)=g(-1)\) より\(,\)
\begin{align}8+C=-16-C\end{align}
\begin{align}C=-12\end{align}
以上より\(,\)
\begin{align}f(x)=5x^3+8x^2-5x-12.\end{align}
\begin{align}g(x)=5x^4+12x^3-9x^2-12x.\end{align}
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