問題文全文
実数 \(x\) の関数
\begin{align}f(x)=ax^3+bx^2+cx+d~(a,~b,~c,~d~は実数の定数)\end{align}
は以下の条件をすべて満たす.
● 曲線 \(y=f(x)\) 上の点 \((0,~f(0))\) における接線の方程式は \(y=12x-4\) である
● 関数 \(f(x)\) は \(x=2\) で極値 \(0\) をとる
このとき\(,\) \(a,~b,~c,~d\) の値を求めなさい.
着眼点
未知数が \(4\) つあります. つまり\(,\) \(a,~b,~c,~d\) に関する式を \(4\) つ立てることになります.
その \(4\) つはすぐに見当がつきます.
①② 点 \((0,~f(0))\) における接線の方程式は \(y=12x-4\)
⇨ 接線の方程式を文字で表して\(,\) \(1\) 次の係数と定数項をそれぞれ係数比較
③ \(f(x)\) は \(x=2\) で極値をとる ⇨ \(f^{\prime}(2)=0\)
④ \(f(x)\) は \(x=2\) のとき \(0\) となる ⇨ \(f(2)=0\)
これで \(4\) 本揃うので連立方程式を解けばOKです.
ただし\(,\) これで終わってはいけません. なぜなら ③の条件が必要十分ではないからです.
一般に
\begin{align} 関数~f(x)~が x=\alpha ~で極値をもつ ⇒ f^{\prime}(\alpha )=0\end{align}
は成り立ちますが\(,\) その逆が成り立つとは限らないからです.
①②③④の連立方程式を解いて出てきた \(a,~b,~c,~d\) の値のときに本当に \(x=2\) で極値を取るかどうかが定かではないため\(,\) きちんと確かめる必要があります.
解答
\begin{align}f^{\prime}(x)=3ax^2+2bx+c\end{align}
より\(,\)
\begin{align}f^{\prime}(0)=c\end{align}
点 \((0,~f(0)=d\) における接線は
\begin{align}y=cx+d\end{align}
これが \(y=12x-4\) と一致するので
\begin{align}c=12,~d=-4\end{align}
\(f(2)=0\) より
\begin{align}8a+4b+2c+d=0\end{align}
\begin{align}2a+b+5=0~~~~\cdots ①\end{align}
\(f^{\prime}(2)=0\) より
\begin{align}12a+4b+c=0\end{align}
\begin{align}3a+b+3=0~~~~\cdots ②\end{align}
①\(,\) ②を解いて
\begin{align}a=2,~b=-9\end{align}
以上より\(,\)
\begin{align}a=2,~b=-9,~c=12,~d=-4\end{align}
quandle
着眼点で述べたようにここで終わってはいけません.
実際に増減表をかいて
「確かに \(x=2\) のときに極値をとっている」
ということをアピールする必要があります.
このとき\(,\)
\begin{align}f(x)=2x^3-9x^2+12x-4\end{align}
\begin{align}f^{\prime}(x)=6x^2-18x+12=6(x-1)(x-2)\end{align}
増減表は以下のようになる.
\begin{align}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & \cdots & 1 & \cdots & 2 & \cdots \\ \hline f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & 1 & \searrow & 0 & \nearrow \\ \hline\end{array}\end{align}
増減表より\(,\) \(x=2\) で極小値 \(0\) をとるので題意を満たす .
\begin{align}a=2,~b=-9,~c=12,~d=-4~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
コメント