公立山口 工学部推薦 第１問(17)(18) の問題文全文
(17) 次の関数 \(y\) を \(x\) について微分しなさい. ただし\(,\) \(n\) は自然数\(,\) \(a,~b\) は実数とする.
\begin{align}y=x^n-\frac{1}{2}x^2+ax+b\end{align}
(18) 次の定積分の値を求めなさい.
\begin{align}\int_{-2}^2(7x^3+6x^2+5x)dx\end{align}
(1) の解答〜 \(x^n\) の微分さえできれば問題なし〜
\begin{align}y^{\prime}=nx^{n-1}-x+a~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
(2) の着眼点〜積分範囲に注目〜
積分範囲が \(-2\leqq x \leqq 2\) となっているので\(,\) 奇関数・偶関数の性質が利用できそうです.
詳しくは以下のリンクにまとめていますので合わせてご一読ください.
(2) の解答〜奇関数・偶関数の性質の利用〜
\begin{align}\int_{-2}^2(7x^3+6x^2+5x)dx=2\int_0^26x^2dx\end{align}
\begin{align}=\biggl[4x^3\biggr]_0^2=32~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}
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