公立山口工学部推薦2021年第１問(17)(18)| 理科大の微積分

公立山口　工学部　推薦　2021年第１問(17)(18)

公立山口【推薦】

2021.11.27

問題文全文

(17)　次の関数を微分しなさい.

\begin{align}y=(x+3)^2(3x-2)\end{align}

(18)　\(a>0\) のとき\(,\) 次の定積分を \(a\) を用いて表しなさい.

\begin{align}\int_{-a}^a(-x^3+x^2-4x)dx\end{align}

\begin{align}y^{\prime}=2(x+3)(3x-2)+(x+3)^2\cdot 3\end{align}

\begin{align}=(x+3)\{2(3x-2)+3(x+3)\}\end{align}

\begin{align}=(x+3)(9x+5)~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}

quandle

公立山口の推薦は範囲が数学IⅡとなっています.
積の微分や合成関数の微分は正確には数Ⅲで出てきますが\(,\) この \(2\) つの公式は文系受験生でも覚えておくべき便利公式です. （共通テストでも使えます)

以下の公式を利用しましょう.

\begin{align}\int_{-a}^af(x)dx=\left\{\begin{array}{cc}0 & (f(x) ：奇関数) \\ \displaystyle 2\int_0^af(x)dx & (f(x)：偶関数)\\ \end{array}\right. \end{align}

\begin{align}\int_{-a}^a(-x^3+x^2-4x)dx=2\int_0^ax^2dx\end{align}

\begin{align}=2\biggl[\frac{1}{3}x^3\biggr]_0^a=\frac{2}{3}a^3~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}

quandle

\(-x^3\) と \(-4x\) は奇関数ですから\(,\) 積分すると \(0\) となりますね！