問題文全文
関数 \(f(x)=x^3+3x^2-9x-27\) について\(,\) 以下の問いに答えなさい.
(1) 導関数 \(f^{\prime}(x)\) を求めなさい.
(2) 方程式 \(f^{\prime}(x)=0\) の解を求めなさい.
(3) 関数 \(f(x)\) の極値を求めなさい.
(1) の解答
\begin{align}f^{\prime}(x)=3x^2+6x-9.\end{align}
(2) の解答
\begin{align}3x^2+6x-9=0\end{align}
\begin{align}x^2+2x-3=0\end{align}
\begin{align}(x+3)(x-1)=0\end{align}
\begin{align}x=-3,~1.\end{align}
(3) の解答
(2) より\(,\) 増減表は以下のようになる.
\begin{align}\begin{array}{c|c|c|c|c|c}x & \cdots & -3 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & 極大 & \searrow & 極小 & \nearrow \\ \end{array}\end{align}
増減表より\(,\)
\(x=-3\) のとき\(,\) 極大値 \(f(-3)=(-3)^3+3(-3)^2-9(-3)-27=0\).
\(x=1\) のとき\(,\) 極小値 \(f(1)=1^3+3\cdot 1^2-9\cdot 1-27=-32.\)
quandle
すべて教科書の練習問題レベルです.
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