公立諏訪　推薦　2021年第３問

公立諏訪【推薦】
2021.11.13
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問題文全文

\(k\) は定数とする. 関数 \(f(x)=x^3+kx^2\) について\(,\) 以下の問いに答えなさい.

(1) \(k>0\) のときの極大値及び極小値とそのときの \(x\) の値を求めなさい.

(2) \(k<0\) のときの極大値及び極小値とそのときの \(x\) の値を求めなさい.

(3) \(f(x)\) が極大値 \(4\) をもつとき\(,\) 定数 \(k\) の値を求めなさい.

(1) の解答

\begin{align}f^{\prime}(x)=3x^2+2kx=x(3x+2k)\end{align}

\(k>0\) より\(,\) \(\displaystyle -\frac{2}{3}k<0\) であるから\(,\) 増減表は以下のようになる.

\begin{align}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & \cdots & \displaystyle -\frac{2}{3}k & \cdots & 0 & \cdots \\ \hline f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & 極大 & \searrow & 極小 & \nearrow \\ \hline \end{array} \end{align}

\begin{align}f\left(-\frac{2}{3}k\right)=-\frac{8}{27}k^3+k\cdot \frac{4}{9}k^2\end{align}

\begin{align}=\frac{-8+12}{27}k^3=\frac{4}{27}k^3\end{align}

であるから\(,\) 増減表より\(,\)

\(x=0\) のとき\(,\) 極小値 \(0\) \(\cdots \fbox{答}\)

\(\displaystyle x=-\frac{2}{3}k\) のとき\(,\) 極大値 \(\displaystyle \frac{4}{27}k^3\) \(\cdots \fbox{答}\)

(2) の解答

\(k<0\) より\(,\) \(\displaystyle -\frac{2}{3}k>0\) であるから\(,\) 増減表は以下のようになる.

\begin{align}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & \cdots & 0 & \cdots & \displaystyle -\frac{2}{3}k & \cdots \\ \hline f^{\prime}(x) & + & 0 & – & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & 極大 & \searrow & 極小 & \nearrow \\ \hline \end{array} \end{align}

増減表より\(,\)

\(\displaystyle x=-\frac{2}{3}k\) のとき\(,\) 極小値 \(\displaystyle \frac{4}{27}k^3\) \(\cdots \fbox{答}\)

\(x=0\) のとき\(,\) 極大値 \(0\) \(\cdots \fbox{答}\)

(3) の解答

(1)\(,\) (2) より\(,\) 極大値が \(4\) であるから\(,\) \(k>0\).

\begin{align}\frac{4}{27}k^3=4\end{align}

\begin{align}k^3=27\end{align}

\(k>0\) より

\begin{align}k=3~~~~\cdots \fbox{答}\end{align}

Geogebraによるシュミレーション

Geogebraによるシュミレーションを準備しました. スライダーを動かすことでグラフが連続的に変化します. 特に以下 \(3\) 点を確認してみてください.

①　\(k>0\) のときは左側が極大、右側が極小になっていること

②　\(k<0\) のときは左側が極小、右側が極大になっていること

③　\(k=3\) のときに極大値が \(4\) になっていること

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