公立諏訪東京理科大学の推薦入試では数学IAIIBの範囲から学力検査が課されます.
問題文全文
以下の問いに答えなさい.
(1) 定積分 \(\displaystyle \int_{-1}^6(3x^2-14x+4)dx\) を求めなさい.
(2) 方程式 \(\log_{10}(x^2+5x-6)=\log_{10}4x\) の解を求めなさい.
(3) 直線 \(y=-x+b\) が曲線 \(y=x^3-2x^2+1\) に接するとき\(,~b\) の値と接点の \(x\) 座標を求めなさい.
(1) の解答
\begin{align}\int_{-1}^6(3x^2-14x+4)dx=\biggl[x^3-7x^2+4x\biggr]_{-1}^6\end{align}
\begin{align}=(216-252+24)-(-1-7-4)=0.\end{align}
(2) の解答
真数条件より\(,\)
\(x^2+5x-6>0\) かつ \(4x>0\)
\((x+6)(x-1)>0\) かつ \(x>0\)
\begin{align}x>1~~\cdots ①\end{align}
このとき\(,\)
\begin{align}\log_{10}(x^2+5x-6)=\log_{10}4x\Leftrightarrow x^2+5x-6=4x\end{align}
\begin{align}\Leftrightarrow x^2+x-6=0\Leftrightarrow (x+3)(x-2)=0\end{align}
① より\(,\)
\begin{align}x=2.\end{align}
(3) の解答
\(y^{\prime}=3x^2-4x\) より\(,~y^{\prime}=-1\) のとき\(,\)
\begin{align}3x^2-4x=-1\Leftrightarrow 3x^2-4x+1=0\end{align}
\begin{align}\Leftrightarrow (x-1)(3x-1)=0\end{align}
よって\(,\)
\begin{align}x=\frac{1}{3},~1\end{align}
\(\displaystyle x=\frac{1}{3}\) のとき\(,\)
\begin{align}y=\left(\frac{1}{3}\right)^3-2\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2+1=\frac{1-6+27}{27}=\frac{22}{27}\end{align}
であるから\(,\) 点 \(\displaystyle \left(\frac{1}{3},~\frac{22}{27}\right)\) における接線は\(,\)
\begin{align}y=-\left(x-\frac{1}{3}\right)+\frac{22}{27}\Leftrightarrow y=-x+\frac{31}{27}\end{align}
\(x=1\) のとき\(,~y=1-2+1=0\) であるから\(,\) 点 \((1,~0)\) における接線は\(,\)
\begin{align}y=-(x-1)\Leftrightarrow y=-x+1\end{align}
以上より\(,\)
\begin{align}(b,~x)=\left(\frac{31}{27},~\frac{1}{3}\right),~(1,~1).\end{align}
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