東京理科大学薬学部2022年第２問（３）| 理科大の微積分

東京理科大学薬学部2022年第２問（３）

薬学部

2022.02.19

薬学部2022年第２問（３）の問題文全文

\begin{align}T_m=\sum_{k=1}^m\frac{1}{n+k}\end{align}

とおくと$,$

\begin{align}\lim_{n\to \infty}T_{40n}=\log{\fbox{$\hskip0.8emツテ\hskip0.8em\Rule{0pt}{0.8em}{0.4em}$}}\end{align}

である.

$\lim$ と $\sum$ が出てきています. 区分求積法の可能性を疑いましょう.

区分求積法の公式は以下になります.

\begin{align}\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf\left(\frac{k}{n}\right)=\int_0^1f(x)dx\end{align}

区分求積法ではシグマの範囲と積分範囲が連動します. 具体的には$,$

$\displaystyle \sum_{k=1}^{2n}$ であれば $\displaystyle \int_0^2$ に$,$ $\displaystyle \sum_{k=1}^{3n}$ であれば $\displaystyle \int_0^3$ に変わります.

今回は $\displaystyle \sum_{k=1}^{40n}$ ですから$,$ $\displaystyle \int_0^{40}$ に変わります.

区分求積法を使うための変形のコツは以下の $2$ 点です.

① シグマの前に $\displaystyle \frac{1}{n}$ を出す.

② シグマの中身を $\displaystyle \frac{k}{n}$ が出てくるように変形する.

今回の問題ではシグマの前に $\displaystyle \frac{1}{n}$ がないので$,$ 強引に作るところから始めましょう.

\begin{align}\lim_{n\to \infty}T_{40n}=\lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^{40n}\frac{1}{n+k}\end{align}

\begin{align}=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{40n}\cfrac{1}{1+\cfrac{k}{n}}=\int_0^{40}\frac{1}{1+x}dx\end{align}

\begin{align}=\biggl[\log(1+x)\biggr]_0^{40}=\log{41}~~~\cdots \fbox{答}\end{align}

ツ：４テ：１