理学部第二部2023年第6問の問題文全文
\(t\) を\(t>0\) を満たす実数とし\(,\) 関数 \(f(x)\) を
で定める.
(1) \(f(t)=~\fbox{$\hskip0.4emそ\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$},~f(2)=~\fbox{$\hskip0.4emた\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}\) である.
(2) 曲線 \(y=f(x)\) 上の点 \((2,~f(2))\) における接線を \({\ell}_t\) とする. 接線 \({\ell}_t\) と \(y\) 軸の交点を \((0,~b(t))\) とするとき\(,\) \(b(t)\) は \(\displaystyle t=\frac{~\fbox{$\hskip0.4emち\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}~} {~\fbox{$\hskip0.4emつ\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}~}\) のとき最小値 \(-~\fbox{$\hskip0.4emて\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}\) をとる. また\(,\) \(t\) が \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}\leqq t \leqq 3\) の範囲で動くとき\(,\) \(b(t)\) は \(t=~\fbox{$\hskip0.4emと\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}\) のとき最大値 \(\fbox{$\hskip0.4emなに\hskip0.4em\Rule{0pt}{0.4em}{0.4em}$}\) をとる.
(3) \(t>2\) のとき\(,\) 曲線 \(y=f(x)\) および \(x\) 軸で囲まれた領域と\(,\) 連立不等式 \(x\geqq 2,~x\leqq t\) の表す領域の共通部分の面積を \(S(t)\) とすると\(,\)
である.
(1) の解答〜代入するだけなので確実に〜
![quandle](https://tus-biseki.com/wp-content/uploads/2020/11/1604510439087.jpg)
\(f(t)=0,~f(2)=0\) ということは因数定理から \((x-t)(x-2)\) を因数にもつことがわかりますね. あとは \(x^3\) の係数が \(1\) であることと\(,\) 定数項が \(4t^2\) であることから\(,\)
であることが確定しますね. (1) からここまでの情報を引き出せておけば完璧です!
そ:0 た:0
(2) の解答〜 \(b(t)\) は \(2\) 次関数〜
\(f^{\prime}(2)=12+4t-8-2t^2-2t=-2t^2+2t+4\) より\(,\)
\(x=0\) のとき\(,\)
\(t>0\) より\(,\)
\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}\leqq t \leqq 3\) より\(,\)
である.
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\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\) で\(,\) \(\sqrt{5}\) が 2.2 くらいなので\(,\) \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}=0.44\) くらいです. 軸である \(\displaystyle x=\frac{1}{2}=0.5\) は定義域のかなり左側にあることがわかりますね.
ち:1 つ:2 て:9 と:3 な:1 に:6
(3) の解答〜(1) からグラフの概形がすぐわかる〜
(1) より\(,\)
であり\(,\) \(t>2\) より\(,\) \(-2t<2<t\) であるから\(,\) グラフの概形は以下のようになる.
![](https://tus-biseki.com/wp-content/uploads/2023/08/geogebra-export-2023-08-04T140027.065-1024x604.png)
上図の赤色部分の面積を求めればよい.
ぬ:5 ね:1 の:2
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