公立諏訪東京理科大学2023年推薦第３問

公立諏訪東京理科大学2023年推薦第３問の問題文全文

$0<a<\sqrt{6}$ とし$,$ 座標平面上の放物線 $y=6-x^2$ と放物線上の点 $\mathrm{A}(a,~6-a^2)$ を考える. $\mathrm{A}$ を通り$x$ 軸と平行な直線と放物線との交点で$,$ $\mathrm{A}$ とは異なる交点を $\mathrm{B}$ とする. また$,$ $\mathrm{A}$ から $x$ 軸に下した垂線と $x$ 軸との交点を $\mathrm{C}$ とし$,$ $\mathrm{B}$ から $x$ 軸に下した垂線と $x$ 軸の交点を $\mathrm{D}$ とし$,$ 長方形 $\mathrm{ABDC}$ の面積 $S$ とする. このとき$,$ 以下の問いに答えよ.

(1) $\mathrm{B}$ の座標を求めよ.

(2) $S$ を $a$ で表せ.

(3) $S$ の最大値を求めよ.

(4) 放物線と線分 $\mathrm{AB}$ で囲まれる面積を $S_1$ とする. $S_1$ が $S$ と等しくなる $a$ の値を求めよ.

(1) の解答〜 $x$ 座標の符号を変えるだけ〜

$\mathrm{B}$ は $\mathrm{A}(a,~6-a^2)$ を $y$ 軸に関して対称に移動した点であるから$,$

(2) の解答〜長方形の面積は縦×横〜

(3) の解答〜３次関数の最大値は微分で求める〜

増減表は以下のようになる.

増減表より$,$

(4) の解答〜$\displaystyle \frac{1}{6}$ 公式の活用〜

$S_1$ を求めるときに $\displaystyle \frac{1}{6}$ 公式を使うと早いです. 忘れた方は以下にまとめていますのでご覧ください.

1/6公式まとめ

1/6公式についてまとめました。使いこなせば面積計算がかなり速くなります。理科大の過去問を使って練習できるようになっているのでぜひ挑戦してみてください。

tus-biseki.com

2022.02.15

$S=S_1$ より$,$

$a\neq 0$ より$,$

$0<a<\sqrt{6}$ より$,$

quandle

$$\begin{align}a=\frac{3\sqrt{10}}{5}=\sqrt{\frac{90}{25}}=\sqrt{3.6}<\sqrt{6}\end{align}$$

ですから$,$ $0<a<\sqrt{6}$ の範囲にありますね！